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Problemas de fundamentos matemáticos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
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# <math>\phi =r^n\,</math>
# <math>\phi =r^n\,</math>
# <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>
# <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>
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==[[Integral sobre una superficie esférica]]==
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Halle el valor de la integral
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<center><math>\oint \mathbf{A} \mathrm{d}S</math></center>
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<center><math>\mathbf{A}=\cot\theta\mathbf{u}_{r}-\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
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y la superficie de integración una esfera de radio <math>R</math> centrada en el origen.
[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]
[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]

Revisión de 08:48 23 sep 2008

Contenido

1 Campos escalares en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,
  3. \phi = (z\cos\varphi)/\rho
  4. \phi = \cot\theta - \tan\theta\,

2 Campos vectoriales en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

  1. \mathbf{A} = \mathbf{r}\,
  2. \mathbf{B} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y}
  3. \mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}
  4. \mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}

3 Trazado de superficies equiescalares

Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

  1. \phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}\,
  2. \phi=r^2\,
  3. \phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}+r^2\,
  4. \phi= r^2/(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r})
  5. \phi = x^2 + y^2\,
  6. \phi = \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)
  7. \phi= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

donde \mathbf{A} es un vector constante y \mathbf{r} es el vector de posición.

4 Cálculo de gradientes

Para los campos escalares

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

5 Regla de la cadena para gradientes

Si \phi = \phi(u)\,, con u = u(\mathbf{r}), demuestre que

\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u

Encuentre \nabla \phi si

  1. \phi=\ln|\mathbf{r}|\,
  2. \phi =r^n\,
  3. \phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}

6 Integral sobre una superficie esférica

Halle el valor de la integral

\oint \mathbf{A} \mathrm{d}S

con

\mathbf{A}=\cot\theta\mathbf{u}_{r}-\mathbf{u}_{\theta}

y la superficie de integración una esfera de radio R centrada en el origen.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_fundamentos_matem%C3%A1ticos"

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