Problemas de herramientas matemáticas (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:01 6 oct 2011

Contenido

1 Arco capaz
2 Coseno y seno de una diferencia
3 Construcción de una base
4 Ejemplo de operaciones con dos vectores
5 Formulas vectoriales potencialmente incorrectas
6 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
7 Cálculo de las componentes de un vector
8 Cálculo numérico de la derivada del seno
9 Aproximación numérica de la velocidad y la aceleración
10 Ejemplo de velocidad en función de la posición
11 Cálculo de la masa de una esfera
12 Ejemplo de integración numérica
13 Trabajo en una semicircunferencia

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

3 Construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que

El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercero, $\vec{B}$ , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

4 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

$\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}$

¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
Escriba $\vec{a}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a $\vec{v}$ y otro ortogonal a él.

5 Formulas vectoriales potencialmente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de cálculo de dimensiones, $R$ es una distancia y $\vec{r}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) $\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}$

(b) $\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}$

(c) $\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}$

(d) $(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}$

(e) $\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}$

(f) $\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}$

(g) $L = \vec{r}\times\vec{p}$

(h) $\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)$

6 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

7 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza $\vec{F}_1$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60\tss{o}. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra $\vec{F}_2 = -10\vec{\imath}-10\vec{\jmath}\ (\mathrm{N})$ , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

8 Cálculo numérico de la derivada del seno

Se trata de calcular la derivada de $f(x)=\,\mathrm{sen}(x^\circ)$ para $x^\circ=0^\circ$ .

Exprese el cociente $Δ f / Δ x$ , cuando $x_1^\circ=0^\circ$ y $x_2^\circ=x^\circ$ .
Calcule numéricamente el cociente anterior para $x^\circ=1^\circ$ , $x^\circ=0.1^\circ$ , $x^\circ=0.01^\circ$ ,… hasta $x^\circ=(10^{-6})^\circ$ . ¿A cuanto tiende el límite?
Multiplique los resultados anteriores por 180. A la vista de los resultados, ¿cuanto vale la derivada de $\mathrm{sen}(x^\circ)$ en $x=0^\circ$ ?

9 Aproximación numérica de la velocidad y la aceleración

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

$t$ (s)	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
$x$ (m)	0.00	-0.04	-0.06	-0.06	-0.04	0.00	0.06	0.14	0.24	0.36	0.50

¿En qué momento es máxima la velocidad? ¿En qué momento es nula? Calcule aproximadamente la velocidad en el intervalo entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=1\,\mathrm{s}$ .
Calcule aproximadamente la aceleración en el mismo intervalo.

10 Ejemplo de velocidad en función de la posición

La velocidad de una partícula sigue la ley

$v = \sqrt{Ax}$

siendo $x$ la distancia recorrida desde el instante inicial.

Calcule la aceleración de la partícula. ¿Qué tipo de movimiento describe?

11 Cálculo de la masa de una esfera

La densidad de masa de una esfera de radio $R$ viene dada por la ley

$\rho = A(R-r)\qquad (0<r<R)$

Sabiendo que el área de una superficie esférica de radio $r$ vale $4π r 2$ , calcule el volumen y la masa de la esfera de radio $R$ . ¿Cuánto vale su densidad media?

12 Ejemplo de integración numérica

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de $s = 0$ .

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en $t=16\,\mathrm{s}$ .
Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es

$v = \sqrt{1+16t-t^2}$

¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

13 Trabajo en una semicircunferencia

Una partícula se encuentra sometida a su peso $\vec{F}=-mg\vec{k}$ . Halle el trabajo realizado por esta fuerza

$W= \int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

cuando la partícula pasa de $\vec{r}_A=R\vec{k}$ a $\vec{r}_B=-R\vec{k}$ moviéndose sobre una semicircunferencia vertical de radio $R$ con centro el origen de coordenadas.

@@ Línea 103: / Línea 103: @@
 # Calcule aproximadamente la aceleración en el mismo intervalo.
-==[[Velocidad en función de la posición]]==
+==[[Ejemplo de velocidad en función de la posición]]==
 La velocidad de una partícula sigue la ley

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1 Arco capaz

2 Coseno y seno de una diferencia

3 Construcción de una base

4 Ejemplo de operaciones con dos vectores

5 Formulas vectoriales potencialmente incorrectas

6 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

7 Cálculo de las componentes de un vector

8 Cálculo numérico de la derivada del seno

9 Aproximación numérica de la velocidad y la aceleración

10 Ejemplo de velocidad en función de la posición

11 Cálculo de la masa de una esfera

12 Ejemplo de integración numérica

13 Trabajo en una semicircunferencia

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