Dinámica de la partícula (GIE)

De Laplace

Revisión de 16:20 9 sep 2011

1 Introducción

La Dinámica es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento atendiendo a las causas que lo producen.

En principio, la Dinámica trata de cualquier sistema, formado por un número arbitrario de partículas, interactuando entre sí y con el fuerzas externas.

En este tema nos limitaremos a considerar la dinámica de una sola partícula (o punto material), considerada como cuerpo sin dimensiones y con una masa finita. A partir del estudio de la dinámica de partículas individuales puede tratarse el estudio de los sistemas de partículas y la dinámica del sólido rígido.

Dada la extensión del tema, lo estructuraremos en varios apartados:

• Leyes de Newton
• Aplicaciones de las leyes de Newton
• Energía y leyes de conservación
• Equilibrio y estabilidad de la partícula (GIE)

2 Principios de la Dinámica

Los principios de la dinámica o Leyes de Newton son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus Principia Mathematica.

Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:

2.1 Primer principio: Principio de inercia

El primer principio de la dinámica, también conocido como Primera Ley de Newton puede formularse como

“Toda partícula libre de interacciones permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.”

Normalmente se formula usando “fuerzas” en lugar de “interacciones” pero puesto que ello requiere el haber definido previamente el concepto de fuerza es preferible enunciarlo de una manera más genérica.

Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo.

Lo que nos dice esta ley es que el espacio que nos rodea no está curvado de ninguna forma ya que las trayectorias de las partículas libres de interacciones son rectas y no otras curvas, como circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera) o hélices (como ocurriría en la superficie de un cilindro).

Esta ley contradice ciertas intuiciones comunes pero incorrectas:

• Aristóteles pensaba que para que un objeto se moviera era necesaria siempre una fuerza. En ausencia de fuerza, un objeto se para. Esto es incorrecto porque no tiene en cuenta el rozamiento como una fuerza más. Si no hubiera rozamiento alguno, un objeto no se pararía. Así, por ejemplo, una nave que viaja por el espacio no necesita activar sus motores la mayor parte del tiempo (independientemente de lo que se vea en las películas).

• En la Edad Media, se consideraba que cuando se lanzaba un objeto (como una piedra), se le comunicaba una fuerza y que cuando viajaba por el aire era porque seguía actuando "la fuerza con que se había lanzado", la cual se iba agotando progresivamente. Esto también es falso. La fuerza de lanzamiento solo actúa en el instante inicial. Posteriormente, sólo el peso y el rozamiento, son responsables del movimiento de la partícula.

El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los sistemas de referencia en inerciales (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y no inerciales (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia).

2.2 Segundo principio: Segunda Ley de Newton

Cuando sobre un cuerpo se aplica una fuerza, éste deja de realizar un movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, su velocidad deja de ser constante. El segundo principio de la dinámica nos dice qué es lo que ocurre cuando a una partícula se le aplica una fuerza

“Cuando sobre un cuerpo de masa m se aplica una fuerza neta adquiere una aceleración proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”

o, como se escribe habitualmente

Si hay más de una fuerza aplicad simultáneamente, es la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma vectorial de ellas.

Así, por ejemplo, para un avión en vuelo se considera que está sometido a cuatro fuerzas: su peso, la sustentación debida al aire, el empuje debido a la propulsión y la resistencia debida a la fricción con el aire

Dependiendo del balance entre las diferentes fuerzas se obtiene la aceleración en la dirección deseada. Cuando el avión vuela a velocidad constante, quiere decir que la suma de las fuerzas aplicadas es nula.

Cuando actúan varias fuerzas independientes, sus efectos se suman, según el

Principio de superposición

Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las dos fuerzas por separado.

También se conoce a éste como principio de independencia de acción de las fuerzas, y se puede generalizar para un número arbitrario de fuerzas.

El que la aceleración sea inversamente proporcional a la masa, nos dice que cuanto mayor es la masa de un cuerpo menor es la aceleración que adquiere. Esta propiedad de la materia se denomina inercia. Por ello, la masa, en este contexto, más que medir la cantidad de materia, mide su inercia, por lo que se denomina técnicamente masa inercial.

Esta ley requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:

• La ley de Hooke, para el oscilador armónico

• La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra

En esta ley aparece también la masa, como creadora de campo gravitatorio (la denominada masa gravitatoria). Newton, estableció que la masa inercial y la gravitatoria tenían el mismo valor, aunque no pudo explicar por qué.

La ley de la Gravitación contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre

• La ley de Lorentz, para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético

Un caso particular de esta ley es la ley de Coulomb, para la fuerza producida por una carga en reposo

Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula.

2.3 Tercer principio: ley de acción y reacción

Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:

“Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.”

Matemáticamente

Hay que destacar que estas dos fuerzas no se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.

Además se cumple para casi todas las fuerzas, que el par acción-reacción va en la dirección de la recta que une las dos partículas

        

Ambas fuerzas actúan simultáneamente. Por ello, hay que señalar que el nombre de “acción y reacción”, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción.

3 Tipos de problemas en dinámica

La segunda ley de Newton relaciona la segunda derivada de la posición con la fuerza que actúa sobre la partícula, la cuál es a su vez una función de la posición, la velocidad y el tiempo;

La solución de esta ecuación constituye el problema fundamental de la dinámica.

Dependiendo de cuáles sean nuestros datos y nuestras incógnitas, podemos tener diferentes clases de problemas:

• Si conocemos la expresión de la fuerza, junto con las condiciones iniciales del problema (posición y velocidad iniciales de la partícula), podemos emplearla para determinar la posición de la partícula en t > 0. Es lo que se conoce como la dinámica de una partícula no vinculada. Como ejemplos típicos tenemos la caída libre, el oscilador armónico o el movimiento planetario.
• Si la posición de la partícula está restringida por alguna limitación geométrica o cinemática (por ejemplo, obligada a moverse sobre una superficie), entonces el problema consiste en la determinación del movimiento compatible con esas ligaduras, más la determinación de las fuerzas que producen dichas ligaduras (fuerzas de reacción vincular). Esta es la dinámica de la partícula vinculada.
• Si conocemos completamente el estado de movimiento de la partícula, podemos emplear la segunda ley de Newton para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula. Este es el principio de los dinamómetros, tanto estáticos (con la partícula en equilibrio), como dinámicos (partícula en movimiento).
• Como caso particular podemos buscar en qué condiciones la partícula permanece en equilibrio y qué fuerzas actúan sobre ella en ese caso. Este es el objeto de la estática.

4 Aplicación de las leyes de Newton

5 Dinámica de la partícula no vinculada

Cuando lo que se conoce son las fuerzas que actúan sobre la partícula así como su posición y velocidad iniciales, la pregunta es ¿cómo se mueve la partícula?

Nuestro punto de partida es la llamada ecuación de movimiento:

junto con las condiciones iniciales

        

La incógnita de este problema es la ecuación horaria , o equivalentemente, las tres funciones x(t), y(t), z(t) (o variables equivalentes). El que debamos determinar tres coordenadas nos dice que el número de grados de libertad del problema es 3.

En el caso de que conozcamos la fuerza como función del tiempo solamente, la respuesta es sencilla: basta con integrar dos veces respecto al tiempo

        

Lo normal, sin embargo, es que la fuerza no se conozca como función del tiempo, sino como función de la posición (como en el caso de la ley de la Gravitación Universal), de la velocidad (por ejemplo, la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es proporcional a la velocidad) y en ocasiones del tiempo. Esto quiere decir que para poder determinar la posición como función del tiempo, debemos integrar una función... que no conocemos hasta que hayamos determinado la propia posición. Esta aparente circularidad convierte a esta fórmula en lo que se conoce como una ecuación diferencial y hace que su integración no sea en absoluto trivial. De hecho, en solo algunos casos es posible determinar analíticamente la posición incluso aunque se conozca perfectamente la fuerza.

En numerosas situaciones de interés, es preciso recurrir a la integración numérica, en la cual se obtiene la posición, con una cierta precisión, con ayuda de ordenadores. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra respecto al Sol puede determinarse exactamente, si solo consideramos estos dos astros, pero el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol es imposible de resolver analíticamente y requiere de técnicas aproximadas.

La segunda ley de Newton puede descomponerse en un sistema de ecuaciones para las coordenadas cartesianas de la partícula

                

siendo F_x, F_y y F_z las componentes cartesianas de la fuerza

                

Estas ecuaciones no son independientes porque cada componente de la fuerza dependerá en general de las tres coordenadas.

Como ilustración de un problema importante de dinámica de partícula no vinculada tenemos el caso de la caída libre de un cuerpo, con y sin rozamiento con el aire.

6 Partícula vinculada. Principio de liberación

6.1 Concepto de vínculo. Clasificación

A menudo una partícula no posee libertad de movimiento en el espacio, sino que se encuentra sometida a vínculos (o ligaduras). Un vínculo es una restricción sobre la posición, la velocidad, o una combinación de ambas. Por ejemplo, una partícula suspendida de un péndulo rígido se ve sometida a la restricción . Tal como ocurre en este ejemplo, la mayoría de los vínculos (los denominados bilaterales) se traduce matemáticamente en la obligación de la partícula de satisfacer una ecuación adicional a las ecuaciones de movimiento. Es la denominada ecuación de ligadura, de expresión general

El efecto de un vínculo es la reducción del número de grados de libertad de la partícula, según la ecuación

siendo r el número de grados de libertad y h el número de ecuaciones de ligadura. Para el caso del péndulo, tendremos r = 2. Si además está obligado a moverse sobre un plano vertical, h = 2 y r = 1.

Los vínculos pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios.

Unilaterales y bilaterales

Cuando el vínculo impide un desplazamiento en un sentido, pero no en el opuesto, se dice que el vínculo es unilateral. Si impide el movimiento en los dos sentidos, es bilateral. Matemáticamente, un vínculo unilateral se expresa mediante una desigualdad; uno bilateral por una igualdad (ecuación de ligadura).

Por ejemplo, un péndulo que cuelga de un hilo flexible supone un vínculo unilateral, expresable como . Si cuelga de una barra rígida es bilateral, cumpliéndose

Geométricos y cinemáticos

Se denomina vínculo geométrico a aquel que se puede expresar como una relación sobre las coordenadas de la partícula, es decir, aquel en cuya ecuación de ligadura no aparece explícitamente ninguna componente de la velocidad. Si además liga a las velocidades, el vínculo es cinemático. Todo vínculo geométrico produce uno cinemático, pero no a la inversa.

Por ejemplo, una partícula obligada a moverse en el extremo de un péndulo rígido está sometida a la condición geométrica

Derivando en esta expresión respecto al tiempo llegamos a la condición cinemática

Una esfera que rueda sobre un plano verifica que la velocidad en el punto de contacto debe ser nula pero de esta condición cinemática no se deduce ningún vínculo geométrico (en ese caso, al vínculo se le llama no holónomo).

Reónomos y esclerónomos

Un vínculo se denomina esclerónomo si es independiente del tiempo, es decir, si el tiempo no aparece explícitamente en la ecuación de ligadura asociada. Si sí depende del tiempo, el vínculo es reónomo.

Por ejemplo, el vínculo de una partícula en el extremo de un péndulo es esclerónomo; una partícula en el interior de un tubo en rotación uniforme está sometida al vínculo reónomo.

Lisos y rugosos

Si el vínculo no ejerce rozamiento se denomina liso. En caso contrario, el vínculo es rugoso.

6.2 Fuerzas de reacción vincular

Según hemos visto, cada vínculo introduce una ecuación adicional en el problema dinámico, con lo que ahora tenemos cuatro o más ecuaciones: las tres componentes de la segunda ley de Newton (ecuaciones de movimiento), más las de las ligaduras presentes (que pueden ser una, dos o tres)

        

Esto plantea el problema de que tengamos más ecuaciones que incógnitas, ya que en principio, nuestro objetivo seguiría siendo determinar las tres funciones x(t), y(t), z(t). Para que el sistema tenga solución, deberán incluirse tantas incógnitas adicionales como ecuaciones de ligadura haya. ¿Cuáles son estas incógnitas?

Desde el punto de vista físico, podemos preguntarnos por el mecanismo por el cual el vínculo ejerce su limitación.

Si la posición se ve limitada, también su aceleración se ve afectada. De acuerdo con la segunda ley de Newton, un cambio en la aceleración se debe a la presencia de una fuerza. Por tanto, la presencia de un vínculo se manifiesta como una fuerza adicional ejercida sobre la partícula. Esta fuerza es conocida como fuerza de reacción vincular.

Consideremos el problema dinámico de las oscilaciones de un péndulo. Puesto que la partícula no cae verticalmente hacia abajo, es claro que sobre la lenteja debe haber alguna fuerza actuando además de su peso. Esta fuerza es la tensión de la cuerda, que conjuntamente con el peso, es responsable de que la partícula se mueva según un arco de circunferencia. Podemos entonces sustituir la cuerda de la que pende, por una tensión equivalente, que será una incógnita del problema, junto con la ecuación adicional de que la partícula se encuentra a una distancia fija del anclaje.

Hay que destacar que el valor de la fuerza de reacción vincular en una situación dinámica no coincide con el valor de la fuerza de reacción en una situación estática, esto es, depende del estado de movimiento de la partícula.

Generalizando, tenemos el

Principio de liberación

Todo punto material o sistema de puntos materiales sometido a vínculos puede ser tratado como si estuviese libre de los mismos si se sustituyen dichos vínculos por las denominadas fuerzas de reacción vincular , las cuales presentan las siguientes características:

• Cumplen la misma función que los vínculos sustituidos, es decir, se oponen a cualquier estado de reposo o movimiento que sea incompatible con ellos;
• Son perpendiculares a los vínculos geométricos cuando éstos consisten en superficies o curvas lisas (sin rozamiento).

Por tanto, el tratamiento de la dinámica de un punto material vinculado requiere, en virtud del principio de liberación, la incorporación a las ecuaciones de las fuerzas de reacción vincular , las cuales, por ser desconocidas a priori, introducen nuevas incógnitas en el problema matemático.

En esta expresión son las llamadas fuerzas activas, que son aquellas que no son de ligadura, y que se suponen conocidas. En el caso de una partícula no vinculada, todas las fuerzas son activas.

Por último, señalaremos la importancia de asignar la dirección correcta a las fuerzas de reacción vincular en la medida en que dicha dirección esté predeterminada (por ejemplo, teniendo presente la ortogonalidad de dichas fuerzas a los vínculos geométricos lisos). En buena parte en esto radica el "saber desvincular" una partícula, ya que no podemos olvidar que la compatibilidad del sistema de ecuaciones exige que el número de incógnitas introducidas a través de las fuerzas de reacción vincular sea igual (y no superior) al número h de ecuaciones de ligadura.

7 Determinación de fuerzas

En ocasiones, conocemos completamente el estado de movimiento o de reposo de una partícula, bien porque hemos medido su posición y velocidad, bien porque se encuentra sometida a tres vínculos independientes que definen de forma unívoca el estado de la partícula.

En ese caso, la segunda ley de Newton nos sirve como herramienta para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula.

Caso estático

En el caso de una partícula en reposo (caso estático) la aceleración es nula, por lo que la resultante de las fuerzas aplicadas debe anularse. Si conocemos el valor de todas las fuerzas salvo una, podemos usar esta ecuación para hallar la fuerza desconocida.

Este es el principio de los dinamómetros de resorte. Se aplica una fuerza que tensa un muelle. Se sabe que la fuerza que ejerce el resorte es proporcional a su elongación, por lo que debe cumplirse

Midiendo cuánto se estira el muelle tenemos el valor de la fuerza.

Caso dinámico

Si tenemos una partícula en un movimiento conocido, podemos determinar la aceleración y a partir de ella determinar la fuerza que está actuando sobre la partícula.

Por ejemplo, la tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital de los planetas es proporcional al cubo de los radios de las órbitas.

Si suponemos órbitas circulares y que la fuerza es central (apunta permanentemente hacia el sol y sólo depende de la distancia al sol), entonces el movimiento es circular uniforme y

Por tanto, la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol debe ir como la inversa del cuadrado de la distancia, tal como afirma la ley de la Gravitación Universal.

8 Estática de la partícula

La estática es la parte de la mecánica que trata de las situaciones de equilibrio de los cuerpos. Un estado de equilibrio es aquél en el que el sistema se encuentra en reposo, permaneciendo en él indefinidamente.

El análisis del equilibrio de un sistema se compone de dos elementos:

• Establecer las condiciones en las que se produce el estado del equilibrio
• Establecer la estabilidad del equilibrio, esto es, determinar si el sistema, separado de su estado de equilibrio, vuelve a él o por el contrario se aleja de él.

8.1 Condición de equilibrio

Para el caso de una partícula material, la condición de equilibrio es una consecuencia inmediata de la segunda ley de Newton. Si la partícula se encuentra en un estado de reposo permanente, su aceleración es nula y por tanto

La condición de equilibrio de una partícula es que se anule la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella.

Cuando tenemos fuerzas dependientes de la posición, este principio sirve para determinar las posiciones de equilibrio, mediante la solución de la ecuación

donde el segundo argumento de la fuerza es la velocidad, que será nula en una posición de equilibrio.

Por ejemplo, supongamos una masa sujeta a la acción de la gravedad y que cuelga de un resorte vertical, que verifica la ley de Hooke. Sumando las componentes verticales del peso y de la fuerza elástica tenemos que, en el equilibrio

      

Si lo que se conoce es la posición de equilibrio y parte de las fuerzas actuantes, la condición de equilibrio sirve para determinar la fuerza restante.

8.2 Estabilidad del equilibrio

El que una posición sea de equilibrio no garantiza que, en una situación real, el sistema vaya a permanecer en ella indefinidamente. La razón es que siempre existen pequeñas fluctuaciones en las fuerzas, que pueden separar levemente al sistema del equilibrio. Para que el sistema permanezca en la misma posición, no basta con que su posición sea de equilibrio. Éste debe ser estable.

Consideremos, por ejemplo, un péndulo simple formado por una masa que cuelga de un punto de anclaje sujeto por una barra rígida sin masa. Este sistema posee dos posiciones de equilibrio: que la masa está en el punto más bajo del péndulo, o que esté en el punto más alto. Es claro que las dos posiciones no son equivalentes. Mientras que en la posición inferior la masa tiende a permanecer en ella, si se encuentra en el extremo superior cualquier pequeña perturbación hace que la masa caiga.

Estable	Inestable

Los puntos de equilibrio se clasifican en:

Estables

Ante una pequeña perturbación, tienden a retornar a la posición de equilibrio. El ejemplo representativo lo supone una partícula que rueda dentro de un cuenco, o una masa sujeta a un resorte.

Inestables

Una pequeña perturbación separa a la masa del equilibrio, y ésta tiende a alejarse de esta posición. Es el caso de una masa situada en lo alto de una cima o del péndulo invertido. También es el caso de una partícula en el interior de un tubo en rotación. Cuando se separa del centro, la inexistencia de una fuerza centrípeta hace que se aleje aun más.

Indiferente

La partícula no tiende a retornar a la posición de equilibrio, pero tampoco a alejarse de ella. Es el caso de una bola situada sobre una mesa horizontal.

Estable	Inestable	Indiferente

La clasificación se complica en 3 dimensiones por el hecho de que una posición de equilibrio puede ser estable respecto a fuerzas aplicadas en una dirección e inestable frente a otras aplicadas en una diferente.

También puede ocurrir que una misma posición de equilibrio pueda ser estable para ciertos valores de los parámetros (por ejemplo, la masa de la partícula) e inestable para valores diferentes.

La forma más directa de abordar el problema de la estabilidad consiste en suponer una posición muy próxima a la de equilibrio y analizar el sentido de la fuerza para un desplazamiento dado. Por ejemplo, en el caso del resorte que cuelga verticalmente hacemos

      

Esto quiere decir que cuando x es positivo, la fuerza es negativa, es decir, tiende a disminuir |x|. Igualmente, si x es negativo, F es positiva, con lo que también tiende a disminuir |x|. El punto de equilibrio es, por tanto, estable.

Una de las herramientas más intuitivas para el análisis de la estabilidad es el uso de las curvas de energía potencial, que veremos al analizar la ley de conservación de la energía mecánica.

9 Problemas