Problemas de vectores libres (G.I.A.)
De Laplace
(→Volumen de un paralelepípedo) |
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medidas en metros). | medidas en metros). | ||
| + | ==[[Volumen de un tetraedro_(G.I.A.)|Volumen de un tetraedro]]== | ||
| + | Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas | ||
| + | cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas | ||
| + | <math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math> | ||
| + | están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y | ||
| + | <math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros). | ||
==[[Distancia mínima entre dos rectas]]== | ==[[Distancia mínima entre dos rectas]]== | ||
Hallar la menor distancia entre las rectas <math>\Delta(A,B)</math> y <math>\Gamma(C,D)</math>, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas <math>A(1,-2,-1)</math> y <math>B(4,0,-3)</math>, para el caso de <math>\Delta</math>, y <math>C(1,2,-1)</math> y <math>D(2,-4,-5)</math>, para la recta <math>\Gamma.</math> | Hallar la menor distancia entre las rectas <math>\Delta(A,B)</math> y <math>\Gamma(C,D)</math>, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas <math>A(1,-2,-1)</math> y <math>B(4,0,-3)</math>, para el caso de <math>\Delta</math>, y <math>C(1,2,-1)</math> y <math>D(2,-4,-5)</math>, para la recta <math>\Gamma.</math> | ||
Revisión de 10:56 14 oct 2010
1 Suma y diferencia de vectores
El vector 
tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 
con el eje X, mientras que el vector 
tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.
2 Componentes cartesianas de un vector
Calcula las componentes cartesianas de un vector con módulo de 13.0 unidades que forma un
ángulo 
con el eje Z y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo
con el eje + X. Calcula también los ángulos con los ejes X e Y.
3 Diagonales de un rombo
Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.
4 Ángulo capaz de 90o
Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro
cualquiera, demuestra que las cuerdas
y 
se cortan perpendicularmente,para
todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz
de 90o).
5 Producto vectorial de dos vectores
Calcula el producto vectorial de los vectores del problema 3, así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.
6 Teoremas del seno y del coseno
Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
7 Vértices de un tetraedro
Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:
Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.
8 Producto mixto nulo
Dados los vectores 
, 
y 
,
demuestra que la relación
se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:
- Los tres vectores son colineales.
- Dos de los vectores son colineales.
- , y no son colineales pero sí coplanarios.
9 Volumen de un paralelepípedo
Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los
vectores 
, 
y 
. Las coordenadas
cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas
O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades
medidas en metros).
10 Volumen de un tetraedro
Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas
cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas
A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B
están definidas por los vectores libres 
y
(las coordenadas están en metros).
11 Distancia mínima entre dos rectas
Hallar la menor distancia entre las rectas Δ(A,B) y Γ(C,D), y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas A(1, − 2, − 1) y B(4,0, − 3), para el caso de Δ, y C(1,2, − 1) y D(2, − 4, − 5), para la recta Γ.
