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Cálculo de divergencias y rotacionales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo <math>D</math>)
(→Campo B)
 
(11 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 10: Línea 10:
irrotacionales y cuáles solenoidales?
irrotacionales y cuáles solenoidales?
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==Solución==
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==Campo '''A''' ==
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===Divergencia===
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===Campo <math>A</math>===
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====Divergencia====
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La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es
La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es
Línea 27: Línea 25:
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3</math></center>
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3</math></center>
-
====Rotacional====
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===Rotacional===
Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas
Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas
Línea 49: Línea 47:
Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.
Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.
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===Campo <math>B</math>===
+
==Campo '''B'''==
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====Divergencia====
+
===Divergencia===
Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,
Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,
Línea 72: Línea 70:
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0</math></center>
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0</math></center>
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====Rotacional====
+
===Rotacional===
Para el rotacional, en cartesianas,
Para el rotacional, en cartesianas,
<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix}
<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix}
Línea 86: Línea 84:
y en esféricas
y en esféricas
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<center><math>\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
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<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|=
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|=
  2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
  2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
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De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.
De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.
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===Campo <math>C</math>===
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==Campo '''C'''==
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====Divergencia====
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===Divergencia===
Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas
Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas
Línea 116: Línea 114:
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{C} = 3(3\cos^2\theta-1)-3(\mathrm{sen}^2\theta-2\cos^2\theta)=0</math></center>
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{C} = 3(3\cos^2\theta-1)-3(\mathrm{sen}^2\theta-2\cos^2\theta)=0</math></center>
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====Rotacional====
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===Rotacional===
Para el rotacional, en cartesianas
Para el rotacional, en cartesianas
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<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix}
+
<center><math>\nabla\times\mathbf{C} = \left|\begin{matrix}
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -x & -y & 2z\end{matrix}\right|=
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -x & -y & 2z\end{matrix}\right|=
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En cilíndricas
En cilíndricas
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<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
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<center><math>\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -\rho & 0 & 2z\end{matrix}\right|=
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -\rho & 0 & 2z\end{matrix}\right|=
  \mathbf{0}</math></center>
  \mathbf{0}</math></center>
Línea 132: Línea 130:
y en esféricas
y en esféricas
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<center><math>\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
+
<center><math>\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r(3\cos^2\theta-1) & -3r^2\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta & 0\end{matrix}\right|=
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r(3\cos^2\theta-1) & -3r^2\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta & 0\end{matrix}\right|=
  \mathbf{0}</math></center>
  \mathbf{0}</math></center>
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==Campo '''D'''==
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===Campo <math>D</math>===
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Por último, para el campo
Por último, para el campo
Línea 145: Línea 142:
calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.
calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.
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<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{D} = = 3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi</math></center>
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<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{D} =   3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi</math></center>
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\[
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<center><math>\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
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\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\dete{\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr \frac{\partial \ }{\partial \rho} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \frac{\partial \ }{\partial z} \cr & &
+
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\
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\rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0} = 4\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{z}
+
\rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0\end{matrix}\right| = 4\rho\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{z}</math></center>
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\]
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Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema
Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema
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y su rotacional
y su rotacional
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\[
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<center><math>\nabla\times\mathbf{D} = \left|\begin{matrix}
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\nabla\times\mathbf{D} = \dete{\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr
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\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
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\frac{\partial \ }{\partial x} &\frac{\partial \ }{\partial x} & \frac{\partial \ }{\partial x} \cr && \cr x^2-y^2 & 2xy & 0}= 4y\mathbf{u}_{z}
+
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x^2-y^2 & 2xy & 0\end{matrix}\right|= 4y\mathbf{u}_{z}</math></center>
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\]
+
Para pasar a esféricas, primero expresamos <math>\mathbf{D}</math> en sus componentes cartesianas
Para pasar a esféricas, primero expresamos <math>\mathbf{D}</math> en sus componentes cartesianas
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A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas
A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas
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<center><math>A_r =  \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{quuad}}
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<center><math>D_r =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}<math>D_\theta =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}<math>D_\varphi  =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi</math></center>
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<math>A_\theta =  \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}
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<math>A_\varphi  =  \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi</math></center>
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Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia
Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia
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<center><math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 A_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}
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<center><math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 D_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}
<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta
<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta
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A_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)</math>{{qquad}}
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D_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)</math>{{qquad}}
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<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(A_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi</math></center>
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<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(D_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi</math></center>
y, por último, sumamos
y, por último, sumamos
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<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{A}=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi</math></center>
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Para el rotacional
Para el rotacional
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<center><math>\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
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\nabla\times\mathbf{A}=
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\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\
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\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\dete{
+
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\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \cr & & \cr
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\frac{\partial \ }{\partial r} & \frac{\partial \ }{\partial \theta} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} \cr & & \cr
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r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi &
r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi &
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r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi}=
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r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi\end{matrix}\right|=
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\]
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4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}
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=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}
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Teniendo en cuenta que
Teniendo en cuenta que
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puede verse que los tres resultados son coincidentes.
puede verse que los tres resultados son coincidentes.
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[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]
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última version al 08:50 13 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Para los campos vectoriales

  1. \mathbf{A} = \mathbf{r}\,
  2. \mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,
  3. \mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,
  4. \mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

2 Campo A

2.1 Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} = 3

Para este mismo campo, en cilíndricas, sustituyendo la expresión de \mathbf{r} dada en otro problema

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial \rho}+\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{2\rho}{\rho}+1 = 3

y, en esféricas,

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3

2.2 Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

\nabla\times\mathbf{A} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x & y & z \end{matrix}\right| = 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+0\mathbf{u}_{z}=\mathbf{0}

en cilíndricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ \rho & 0 & z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r & 0 & 0\end{matrix}\right| = \mathbf{0}

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

3 Campo B

3.1 Divergencia

Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = \frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0

En cilíndricas este campo se escribe

\mathbf{B} = -\rho\,\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{x}+\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}=\rho\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial \varphi}+0 = 0

En esféricas el campo es

\mathbf{B} = r \,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0

3.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas,

\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -y & x & 0\end{matrix}\right|= 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ 0 & \rho^2 & 0\end{matrix}\right|= 2\mathbf{u}_{z}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|= 2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.

4 Campo C

4.1 Divergencia

Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas

\nabla{\cdot}\mathbf{C} = -1-1+2 = 0

En cilíndricas, aplicando los resultados del problema de cálculo de gradientes

\mathbf{C} = -\rho\mathbf{u}_{\rho}+2z\mathbf{u}_{z}

y el cálculo de la divergencia da

\nabla{\cdot}\mathbf{C} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \left(\rho^2\right)}{\partial \rho}+\frac{\partial (2z)}{\partial z}= -2 + 2 = 0

y en esféricas

\mathbf{C} = r(3\cos^2\theta-1)\mathbf{u}_{r}-3r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\mathbf{u}_{\theta}


\nabla{\cdot}\mathbf{C} = 3(3\cos^2\theta-1)-3(\mathrm{sen}^2\theta-2\cos^2\theta)=0

4.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas

\nabla\times\mathbf{C} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -x & -y & 2z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -\rho & 0 & 2z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r(3\cos^2\theta-1) & -3r^2\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta & 0\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

5 Campo D

Por último, para el campo

\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.

\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi
\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ \rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0\end{matrix}\right| = 4\rho\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{z}

Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema

\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y})+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\left(-\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}\right) =\left(x^2-y^2\right)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}

y calculamos su divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 2x+2x = 4x

y su rotacional

\nabla\times\mathbf{D} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x^2-y^2 & 2xy & 0\end{matrix}\right|= 4y\mathbf{u}_{z}

Para pasar a esféricas, primero expresamos \mathbf{D} en sus componentes cartesianas

\mathbf{D}=(x^2-y^2)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y} =r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos(2\varphi)\mathbf{u}_{x}+ r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}(2\varphi)\mathbf{u}_{y}

A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas

D_r = \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi    D_\theta = \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi    D_\varphi = \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi

Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia

\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 D_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta D_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(D_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

y, por último, sumamos

\nabla{\cdot}\mathbf{D}=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

Para el rotacional

\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi\end{matrix}\right|= 4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}

Teniendo en cuenta que

y=\rho\,\mathrm{sen}\,\varphi=r\,\mathrm{sen}\theta\,\mathrm{sen}\varphi     \mathbf{u}_{z}=\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

puede verse que los tres resultados son coincidentes.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_divergencias_y_rotacionales"

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