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Coordenadas cartesianas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Base ortonormal dextrógira)
(→Base ortonormal dextrógira)
 
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Línea 3: Línea 3:
<center><math>\mathbf{u}_x = \mathbf{i}\qquad \mathbf{u}_y = \mathbf{j}\qquad \mathbf{u}_z = \mathbf{k}</math></center>
<center><math>\mathbf{u}_x = \mathbf{i}\qquad \mathbf{u}_y = \mathbf{j}\qquad \mathbf{u}_z = \mathbf{k}</math></center>
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con una diferencia de matiz. La base <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,</math> no está asociada a un punto en concreto. La base <math>\{\mathbf{u}_x, \mathbf{u}_y, \mathbf{u}_z\}</math> sí está asociada a cada punto en concreto, sólo que en cada punto coincide con <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,</math>.
==Base ortonormal dextrógira==
==Base ortonormal dextrógira==
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Los vectores de la base cartesiana forman una [[base ortonormal dextrógira]] si se ordenan en la forma tradicional <math>\left\{\mathbf{u}_x,\mathbf{u}_y,\mathbf{u}_z\right\}</math>. Los productos escalares vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
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Los vectores de la base cartesiana forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si las coordenadas se ordenan en la forma tradicional''' <math>(x,y,z)\,</math>. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
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! &middot;
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! <math>\mathbf{u}_z</math>
! <math>\mathbf{u}_z</math>
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! <math>\mathbf{u}_z</math>
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| <math>\mathbf{u}_y</math>
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| <math>-\mathbf{u}_x</math>
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</center>
==Factores de escala==
==Factores de escala==
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Las coordenadas cartesianas poseen una propiedad que las hace diferentes del resto de sistemas de coordenadas:  
Las coordenadas cartesianas poseen una propiedad que las hace diferentes del resto de sistemas de coordenadas:  
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<div style="font-size:150%;font-face:bold;color:#006600;text-align:center;border:2px solid #006600;padding:5px;margin-bottom:5px">La base cartesiana es independiente de la posición</div>
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{{basecartesiana}}
==Vector de posición==
==Vector de posición==
Línea 53: Línea 81:
*[[Coordenadas cartesianas. Líneas y superficies coordenadas]]
*[[Coordenadas cartesianas. Líneas y superficies coordenadas]]
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[[Categoría: Sistemas de coordenadas]]
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[[Categoría: Bases vectoriales|20]]
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[[Categoría:Coordenadas cartesianas|30]]

última version al 16:08 13 abr 2010

Contenido

1 Vectores de la base

Para el sistema cartesiano la construcción es inmediata. En cada punto del espacio las líneas coordenadas son rectas paralelas a los ejes X\,, Y\, y Z\,. Por tanto, los vectores de la base cartesiana son nuestros viejos conocidos \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,

\mathbf{u}_x = \mathbf{i}\qquad \mathbf{u}_y = \mathbf{j}\qquad \mathbf{u}_z = \mathbf{k}

con una diferencia de matiz. La base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\, no está asociada a un punto en concreto. La base \{\mathbf{u}_x, \mathbf{u}_y, \mathbf{u}_z\} sí está asociada a cada punto en concreto, sólo que en cada punto coincide con \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,.

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cartesiana forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma tradicional (x,y,z)\,. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 1 0 0
\mathbf{u}_y 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_y
\mathbf{u}_y -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_x
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_y -\mathbf{u}_x 0

3 Factores de escala

Los factores de escala en este sistema también son sencillos. Puesto que las coordenadas representan distancias a los planos coordenados, si nos desplazamos una cantidad \mathrm{d}x\, a lo largo de la línea coordenada x\,, la distancia que recorremos es... ¡\mathrm{d}x\,!. Lo mismo con y\, y con z\,. Por tanto, los factores de escala para las tres coordenadas valen

h_x = 1\qquad h_y = 1\qquad h_z = 1

Las coordenadas cartesianas poseen una propiedad que las hace diferentes del resto de sistemas de coordenadas:

La base cartesiana es la única independiente de la posición

4 Vector de posición

El vector de posición en la base cartesiana y en componentes cartesianas se escribe

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

5 Enlaces

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cartesianas._Base_vectorial"

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