Bases vectoriales
De Laplace
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| - | La definición de sistemas de coordenadas está muy bien, y es muy útil, pero, por desgracia, no es suficiente. Dado que vamos a hablar de forma insistente de magnitudes vectoriales, vamos a necesitar expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Para ello necesitamos definir bases vectoriales, para poder escribir los vectores en términos de sus componentes. Por supuesto, una posibilidad sería definir una base de una vez por todas, por ejemplo <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,</math>, y expresar todos los vectores siempre en dicha base. Pero, aunque parece lo más cómodo, no es lo más sencillo. O, mejor dicho, no es esta base la que da una expresión más sencilla para los distintos vectores. Por ejemplo, | + | La definición de sistemas de coordenadas está muy bien, y es muy útil, pero, por desgracia, no es suficiente. Dado que vamos a hablar de forma insistente de magnitudes vectoriales, vamos a necesitar expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Para ello necesitamos definir bases vectoriales, para poder escribir los vectores en términos de sus componentes. Por supuesto, una posibilidad sería definir una base de una vez por todas, por ejemplo <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,</math>, y expresar todos los vectores siempre en dicha base. Pero, aunque parece lo más cómodo, no es lo más sencillo. O, mejor dicho, no es esta base la que da una expresión más sencilla para los distintos vectores. Por ejemplo, el vector de posición en esféricas, empleando la base <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,</math> se escribe |
<center><math>\mathbf{r} = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{i} + r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{j} + r \cos\theta\,\mathbf{k}</math></center> | <center><math>\mathbf{r} = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{i} + r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{j} + r \cos\theta\,\mathbf{k}</math></center> | ||
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lo cual es mucho más sencillo, dónde va a parar... ¿o quizás no? | lo cual es mucho más sencillo, dónde va a parar... ¿o quizás no? | ||
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Un error muy común consiste en confundir ''coordenadas'' cartesianas con ''componentes'' cartesianas (y quien dice cartesianas dice cilíndricas o esféricas). Son conceptos independientes: | Un error muy común consiste en confundir ''coordenadas'' cartesianas con ''componentes'' cartesianas (y quien dice cartesianas dice cilíndricas o esféricas). Son conceptos independientes: | ||
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Por ejemplo, el vector | Por ejemplo, el vector | ||
| - | <math>\mathbf{r} = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y} + r \cos\theta\,\mathbf{u}_{z}</math> | + | <center><math>\mathbf{r} = r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y} + r \cos\theta\,\mathbf{u}_{z}</math></center> |
| - | + | emplea componentes cartesianas y coordenadas esféricas. | |
==Construcción de las bases== | ==Construcción de las bases== | ||
| - | Para los tres sistemas que hemos definido, podemos construir una base ortonormal en cada punto del espacio de la siguiente forma: Los vectores de la base en un punto <math>P\,</math> son los vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas que pasan por dicho punto y en el sentido en el que aumenta cada coordenadas. | + | Para los tres sistemas que hemos definido, podemos construir una [[base ortonormal dextrógira]] en cada punto del espacio de la siguiente forma: Los vectores de la base en un punto <math>P\,</math> son los vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas que pasan por dicho punto y en el sentido en el que aumenta cada coordenadas. |
Esto es, para cada punto, tomamos la línea coordenada <math>q_1\,</math>. Hallamos un vector tangente a ella, lo cual se puede hacer mediante la derivada | Esto es, para cada punto, tomamos la línea coordenada <math>q_1\,</math>. Hallamos un vector tangente a ella, lo cual se puede hacer mediante la derivada | ||
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Teniendo en cuenta que las líneas coordenadas son en general curvas, con una dirección variable, se deduce la propiedad importante: | Teniendo en cuenta que las líneas coordenadas son en general curvas, con una dirección variable, se deduce la propiedad importante: | ||
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De la expresión anterior resulta que los factores de escala son magnitudes con unidades. <math>\mathrm{d}\mathbf{r}\,</math> se mide en metros. Por tanto <math>h_1\,</math> se mide en metros dividido por las unidades de <math>q_1\,</math>. dado que todas las coordenadas que hemos definido o son distancias o son ángulos, todos los factores de escala que vamos a encontrar, o son adimensionales, o se miden en metros/radián. | De la expresión anterior resulta que los factores de escala son magnitudes con unidades. <math>\mathrm{d}\mathbf{r}\,</math> se mide en metros. Por tanto <math>h_1\,</math> se mide en metros dividido por las unidades de <math>q_1\,</math>. dado que todas las coordenadas que hemos definido o son distancias o son ángulos, todos los factores de escala que vamos a encontrar, o son adimensionales, o se miden en metros/radián. | ||
| - | == | + | ==Enlaces== |
| - | [[Coordenadas cartesianas. Base vectorial]] | + | * '''Siguiente:''' [[Coordenadas cartesianas. Base vectorial]] |
| + | * '''Anterior:''' [[Elección de ejes y simetría]] | ||
| + | * [[Coordenadas cilíndricas. Base vectorial]] | ||
| + | * [[Coordenadas esféricas. Base vectorial]] | ||
| + | * [[Relaciones entre las bases vectoriales]] | ||
| - | |||
| - | [[Categoría: | + | [[Categoría:Bases vectoriales|10]] |
última version al 16:56 13 abr 2010
Contenido |
1 Introducción
La definición de sistemas de coordenadas está muy bien, y es muy útil, pero, por desgracia, no es suficiente. Dado que vamos a hablar de forma insistente de magnitudes vectoriales, vamos a necesitar expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Para ello necesitamos definir bases vectoriales, para poder escribir los vectores en términos de sus componentes. Por supuesto, una posibilidad sería definir una base de una vez por todas, por ejemplo 
, y expresar todos los vectores siempre en dicha base. Pero, aunque parece lo más cómodo, no es lo más sencillo. O, mejor dicho, no es esta base la que da una expresión más sencilla para los distintos vectores. Por ejemplo, el vector de posición en esféricas, empleando la base se escribe
mientras que empleando la base específica de esféricas se escribe
lo cual es mucho más sencillo, dónde va a parar... ¿o quizás no?
2 Coordenadas ≠ componentes
Un error muy común consiste en confundir coordenadas cartesianas con componentes cartesianas (y quien dice cartesianas dice cilíndricas o esféricas). Son conceptos independientes:
- Coordenadas se refiere al sistema empleado.
- Componentes se refiere a la base empleada.
Por ejemplo, el vector
emplea componentes cartesianas y coordenadas esféricas.
3 Construcción de las bases
Para los tres sistemas que hemos definido, podemos construir una base ortonormal dextrógira en cada punto del espacio de la siguiente forma: Los vectores de la base en un punto 
son los vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas que pasan por dicho punto y en el sentido en el que aumenta cada coordenadas.
Esto es, para cada punto, tomamos la línea coordenada 
. Hallamos un vector tangente a ella, lo cual se puede hacer mediante la derivada
Este vector es tangente a la curva y apunta en el sentido correcto (del mismo modo que la velocidad de un movimiento 
es tangente a la trayectoria y apunta hacia adelante). Para obtener el vector unitario, calculamos el módulo de este vector y dividimos por él
De manera análoga construimos los vectores 
y 
.
Teniendo en cuenta que las líneas coordenadas son en general curvas, con una dirección variable, se deduce la propiedad importante:
4 Factores de escala
La cantidad 
posee importancia por si misma y se denomina factor de escala de la coordenada . Este factor expresa la proporcionalidad entre lo que varía la coordenada al movernos sobre la línea coordenada y cuánta distancia recorremos.
De la expresión anterior resulta que los factores de escala son magnitudes con unidades. 
se mide en metros. Por tanto se mide en metros dividido por las unidades de . dado que todas las coordenadas que hemos definido o son distancias o son ángulos, todos los factores de escala que vamos a encontrar, o son adimensionales, o se miden en metros/radián.
