Problemas de campo magnético (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Fuerza magnética sobre una espira cuadrada
2 Fuerza magnética sobre una espira inclinada
3 Campo magnético producido por una espira circular
4 Campo magnético producido por una bobina cilíndrica
5 Campo magnético producido por una espira rectangular
6 Campo magnético en el centro de un rectángulo
7 Campo magnético en el centro de un polígono
8 Campo magnético creado por un hilo infinito
9 Campo magnético producido por dos hilos paralelos
10 Campo magnético producido por dos hilos ortogonales
11 Corriente y campo magnético de dos hilos

1 Fuerza magnética sobre una espira cuadrada

El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme $\vec{B}=B_0\vec{k}$ en el semiespacio $x > b$ . Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en $\pm a\vec{\imath}$ y en $\pm a\vec{\jmath}$ . Por la espira circula una intensidad de corriente $I$ . Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios).

Solución

2 Fuerza magnética sobre una espira inclinada

Una espira cuadrada ABCD de lado 10 cm se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme $\vec{B}=10\vec{k}$ (mT). Los vértices de la espira se encuentran en

$\vec{r}_A=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad \vec{r}_B=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad \vec{r}_C=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad \vec{r}_D=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}$

(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.

Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley

$\vec{M}_O=\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i$

Calcule el momento magnético de la espira y compruebe que

$\vec{M}_O = \vec{m}\times\vec{B}\qquad\qquad (\vec{m}=IS\vec{n})$

Solución

3 Campo magnético producido por una espira circular

Halle el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio $b$ , por la cual circula una corriente $I 0$ .

¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (z≫b)?

Solución

4 Campo magnético producido por una bobina cilíndrica

A partir del caso anterior, calcule el campo magnético debido a una bobina de longitud $h$ y radio $b$ con $N$ espiras. ¿A qué tiende el resultado cuando $h\gg b$ ?

Solución

5 Campo magnético producido por una espira rectangular

Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo de corriente de longitud $\ell$ , por el cual circula una corriente $I 0$ en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el eje OZ sobre el segmento, extendiéndose éste desde $\overrightarrow{OA} = -(\ell/2)\vec{k}$ a $\overrightarrow{OB}=+(\ell/2)\vec{k}$ con la corriente de A a B, y hállese el campo en un punto $\overrightarrow{OP}=x\vec{\imath}+z\vec{k}$ . Posteriormente generalícese el resultado.

Solución

6 Campo magnético en el centro de un rectángulo

A partir del resultado del problema anterior hállese el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados a y b por la cual circula una corriente $I 0$ .

Solución

7 Campo magnético en el centro de un polígono

A partir del resultado del problema anterior halle el campo magnético en el centro de un polígono regular de N lados y apotema b, por el cual circula una intensidad de corriente $I 0$ . ¿A qué tiende este resultado en el caso de una espira circular (N → ∞)?

Solución

8 Campo magnético creado por un hilo infinito

A partir del resultado de un problema anterior calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una corriente $I 0$ en el sentido del eje OZ positivo.

Solución

9 Campo magnético producido por dos hilos paralelos

Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje Z, situados sobre $x = \pm a$ , $y = 0$ . Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano $x = 0$ , y en todos los puntos del plano $y = 0$ en los dos casos siguientes:

Por los hilos circulan corrientes paralelas $+ I 0$ .
Por los hilos circulan corrientes antiparalelas $\pm I_0$ .

Para el caso particular $a=2\,\mathrm{cm}$ $I_0=0.1\,\mathrm{A}$ , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?

¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud ℓ del otro?

Solución

10 Campo magnético producido por dos hilos ortogonales

Sobre el plano XY se hallan dos hilos rectilíneos de gran longitud, situados ortogonalmente, uno a lo largo del eje OX y uno a lo largo del eje OY. Por ambos circula una corriente $I_0=100\,\mathrm{ mA}$ en el sentido positivo de cada eje. ¿Cuánto vale el campo magnético que producen en $\vec{r}_0=9\vec{\imath}+16\vec{\jmath}+12\vec{k}\,(\mathrm{cm})$ ?

Solución

11 Corriente y campo magnético de dos hilos

Se tienen dos hilos de cobre de gran longitud $b=20.0\,\mathrm{m}$ . Uno de ellos tiene un diámetro $D_1=1\,\mathrm{mm}$ y el otro $D_2=2\,\mathrm{mm}$ . Se sitúan paralelamente a una distancia $d= 10\,\mathrm{cm}$ y se conectan sus extremos de forma que constituyen una asociación en paralelo. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial $V_0= 1.0\,\mathrm{V}$ .

Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
¿Cuál es la potencia total disipada en el sistema?
Halle el vector campo magnético producido por los hilos en el punto O, centro del sistema.
Empleando los ejes de la figura, ¿en qué punto del eje OX se anula el campo magnético?

Dato: Conductividad del cobre, $\sigma = 5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; permeabilidad del vacío $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{A}$ .