Corriente y campo magnético de dos hilos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Intensidades de corriente
3 Potencia disipada
4 Campo magnético en el centro
5 Campo magnético nulo

1 Enunciado

Se tienen dos hilos de cobre de gran longitud $b=20.0\,\mathrm{m}$ . Uno de ellos tiene un diámetro $D_1=1\,\mathrm{mm}$ y el otro $D_2=2\,\mathrm{mm}$ . Se sitúan paralelamente a una distancia $d= 10\,\mathrm{cm}$ y se conectan sus extremos de forma que constituyen una asociación en paralelo. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial $V_0= 1.0\,\mathrm{V}$ .

Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
¿Cuál es la potencia total disipada en el sistema?
Halle el vector campo magnético producido por los hilos en el punto O, centro del sistema.
Empleando los ejes de la figura, ¿en qué punto del eje OX se anula el campo magnético?

Dato: Conductividad del cobre, $\sigma = 5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; permeabilidad del vacío $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{A}$ ; campo magnético creado por un hilo infinito, expresado en cilíndricas,

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi$

2 Intensidades de corriente

Cada uno de los hilos está conectado a la misma diferencia de potencial, por lo que la corriente que circula por cada uno la da la ley de Ohm

$I_i=\frac{\Delta V}{R_i}$

siendo la resistencia de cada hilo

$R_i=\frac{b}{\sigma S_i}=\frac{b}{\sigma\pi (D_i/2)^2}$

Para el hilo de 1mm de diámetro

$R_1 = \frac{4\times 20.0}{5.96\times 10^7\times \pi\times (10^{-3})^2}\Omega = 0.427\,\Omega$

Para el hilo de 2mm, la sección será el cuádruple y la resistencia la cuarta parte

$R_2=\frac{R_1}{4}=0.107\,\Omega$

La intensidad de corriente que circula por el primer hilo vale

$I_1=\frac{\Delta V}{R_1}=\frac{1.0}{0.427}\,\mathrm{A}=2.34\,\mathrm{A}$

y para el hilo 2, que tiene un cuarto de esta resistencia resulta el cuadruple de intensidad

$I_2=\frac{\Delta V}{R_2}=4I_1 = 9.36\,\mathrm{A}$

3 Potencia disipada

La potencia disipada en cada hilo es de la forma

$P_i = I_i^2R_i = I_i\Delta V\,$

y la total es la suma de las dos

$P_T=P_1+P_2 = \Delta V(I_1+I_2)= 11.7\,\mathrm{W}$

4 Campo magnético en el centro

El punto donde queremos hallar el campo está muy próximo a los hilos, en comparación con la longitud de estos. Por ello, podemos usar la fórmula para un hilo infinitamente largo, que nos dará una buena aproximación al campo real.

La fórmula para el campo de un solo hilo es

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi$

donde $ρ$ es la distancia al hilo ( $\rho = d/2=5\,\mathrm{cm}$ para los dos hilos) y $\vec{u}_\varphi$ es el unitario en la dirección acimutal, que da vueltas en torno al hilo según la regla de la mano derecha.

Para el hilo superior este vector equivale a $+\vec{\jmath}$ en el punto O, ya que ahí la dirección acimutal va hacia adentro, que es el sentido del eje Y. Para el hilo inferior el campo sale hacia afuera, es decir va en el sentido de $-\vec{\jmath}$

Por tanto tenemos

$\vec{B}=\frac{\mu_0I_1}{2\pi(d/2)}\vec{\jmath}-\frac{\mu_0I_2}{2\pi(d/2)}\vec{\jmath}=\frac{\mu_0(I_1-I_2)}{\pi d}\vec{\jmath}=-\frac{3\mu_0I_1}{\pi d}\vec{\jmath}$

con el valor numérico

$\vec{B}=-28.1\,\mu\mathrm{T}\vec{\jmath}$

En el punto O el campo viene hacia afuera del plano que, como hemos dicho, es el sentido de $-\vec{\jmath}$ .

5 Campo magnético nulo

Tal como se ve en el apartado anterior, en la zona central los campos magnéticos de los dos hilos van en sentidos opuestos. Si nos acercamos al hilo 1 (el de menor intensidad) su campo magnético aumenta, y el del 2 disminuye. A la distancia adecuada uno anula al otro.

El campo en cualquier punto del plano de los hilos, entre ellos, vale