Primera Prueba de Control 2016/17 (G.I.A.)

De Laplace

Movimiento uniforme de partícula describiendo trayectoria tridimensional

Una partícula $P$ se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano fijo $O X Y Z$ , recorriendo la curva de ecuación paramétrica,

$\Gamma :\vec{r}(\varphi)=x(\varphi)\!\ \vec{\imath}+y(\varphi)\!\ \vec{\imath}+z(\varphi)\!\ \vec{k}\ \mathrm{,}\;\;\; \mathrm{con}\left\{ \begin{array} {l} x(\varphi)= b\!\ (\mathrm{cos}\!\ \varphi +\varphi\mathrm{sen}\!\ \varphi)\\ \\ y(\varphi)= b\!\ (\mathrm{sen}\!\ \varphi -\varphi\mathrm{cos}\!\ \varphi)\\ \\ \displaystyle z(\varphi)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ b\ \varphi^2 \end{array}\right.$

donde $b$ es un valor constante conocido, y $\varphi$ un determinado parámetro geométrico. En el instante inicial, $t = 0$ , la partícula se encuentra en el punto de coordenadas $P 0 (b,0,0)$ , en reposo; a partir de dicho instante y posición, realiza un movimiento uniforme con velocidad de módulo constante, $v 0$ .

Ley horaria $\varphi(t)$ que ha de cumplir el parámetro geométrico para que $\vec{r}[\varphi(t)]$ sea el movimiento uniforme descrito en el enunciado.
Relación entre el valor del parámetro $\varphi$ correspondiente a una posición arbitraria de la partícula, $P(\varphi)$ , y la distancia $s$ , medida sobre la curva, desde dicho punto al punto $P_0=P(\varphi=0)$ .
Vector aceleración instantánea de la partícula en función de la posición de la partícula, dada por el valor del parámetro $\varphi$ en cada instante de tiempo.