Permitividad efectiva de la unión de dos materiales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Capas en sandwich
4 Bloques adyacentes

1 Enunciado

Un condensador de placas planas y paralelas está relleno de dos capas del mismo espesor de materiales dieléctricos de permitividades relativas 3 y 5, siendo la interfaz paralela a las placas. ¿Cuánto vale la permitividad relativa promedio de este condensador?

Suponga ahora que los dos materiales se encuentran en dos bloques adyacentes, ocupando cada uno la mitad de la sección. ¿Cuál es en ese caso la permitividad promedio?

2 Introducción

Este problema simplemente recoge los resultados del problema de dos capas que forman un sandwich y el de uno con dos bloques adyacentes. Aqui lo único que vamos a hacer es expresar el resultado en términos de una permitividad efectiva. Esto es, tanto en un caso como en otro, el condensador puede verse desde fuera como compuesto por un solo material, con una permitividad que será un promedio de las de los materiales que lo componen. Por tratarse de un promedio, este valor estará entre el mínimo y el máximo de las de los materiales, en este caso, estará entre 3 y 5.

En un caso general de una interfaz arbitraria, o el caso frecuente de un material con impurezas o porciones de otro material intercaladas, la permitividad promedio seguirá siendo un valor intermedio entre las dos extremos, pero su valor concreto requerirá en general el uso de métodos numéricos.

3 Capas en sandwich

Para el caso de dos capas en sandwich

$\frac{1}{C}=\frac{a/2}{\varepsilon_1\varepsilon_0 S}+\frac{a/2}{\varepsilon_2\varepsilon_0 S}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}\right)\frac{1}{C_0}$

o, lo que es lo mismo

$C = \frac{2\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}C_0$

El primer factor es la llamada media armónica de las dos permitividades relativas (la media armónica es tal que su inversa es la media aritmética de las inversas de los diferentes términos).