Entropía de una mezcla de gases

De Laplace

1 Enunciado

Un recipiente de 2.00 l tiene una barrera que lo divide por la mitad. Una mitad contiene H₂ y la otra O₂. Ambos gases se encuentran a una temperatura de 25°C y a la presión atmosférica. Se retira la barrera de separación, permitiendo que los gases se mezclen. ¿Cuál el aumento de entropía del sistema?

2 Entropía de un solo gas

La variación de la entropía de un gas ideal en función de la temperatura y el volumen es

y, en función de la temperatura y la presión

Si tenemos un conjunto de moles de un gas que se expande de un volumen V a un volumen 2V, siendo la temperatura final la misma que la inicial, la variación en la entropía del gas es

Si usamos como variables la temperatura y la presión (que tienen la ventaja de ser ambas variables intensivas), lo que vemos es que la presión se reduce a la mitad

que naturalmente coincide con el resultado anterior.

3 Entropía de una mezcla

La entropía es una propiedad extensiva. Para una sustancia pura esto quiere decir que es proporcional a la cantidad de sustancia, esto es, es proporcional a la masa. Para una mezcla de gases ideales, se comportará como lo hace la masa de la mezcla.

Si tenemos N sustancias, con n_i moles de cada una, con una masa molar m_i, la masa total será

así que la entropía de la mezcla será

siendo s_i la entropía por mol de la sustancia i. Una forma análoga tendremos para el incremento de la entropía.

El incremento de la entropía molar para cada sustancia será

donde las p_i son las presiones parciales de los gases de la mezcla, es decir,

        

con lo que el incremento de la entropía total es

4 Incremento de entropía

En nuestro caso, la temperatura inicial es la misma que la final para los dos gases.

      

Lo mismo ocurre con la presión total (no con la parcial), ya que inicialmente ambos se encontraban a la misma y al romper la membrana se redistribuyen las moléculas, pero el número de moles total y el volumen total sigue siendo el mismo.

Las presiones parciales sí se ven reducidas pues cada gas pasa a ocupar el volumen total, con el mismo número de moles. las presiones parciales serán

Todo esto deja el aumento de entropía en

Aplicando la ley de los gases ideales

En nuestro caso, las fracciones molares de los dos gases son la misma: un 50%, ya que a igualdad de presión, volumen y temperaturas iniciales les corresponde el mismo número de moles (nótese que no necesitamos calcular cuántos son estos moles).

      

Vemos que la entropía del universo aumenta, ya que la del sistema lo hace y la del ambiente no se ve afectada (no hay intercambio de calor con el exterior). Por ello, este proceso de mezcla es espontáneo e irreversible.