Densidad e intensidad de corriente (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Modelos de conducción
2 Densidad de corriente
3 Intensidad de corriente
4 Ley de conservación de la carga
5 Aplicación a un circuito

1 Modelos de conducción

Las corrientes eléctricas tienen todas en común el movimiento de cargas por el vacío o el interior de un material, pero el mecanismo por el que esto ocurre es muy diverso. Para describirlos se usan los modelos de conducción, que tienen una parte cualitativa y una descripción matemática (que no consideraremos).

Disoluciones salinas: El caso más sencillo es el de una cantidad de agua en el que hay sales disueltas. En este caso, flotando en la sopa hay iones de diferentes cargas y signos. De entrada tenemos los iones OH⁻ y H⁺ en que se disocia el agua, pero además tenemos Cl⁻, Na⁺, Ca²⁺, K⁺, etc. dependiendo de las sales que haya disueltas. Cada una de las variedades cargadas se denomina una especie de portadores de carga, caracterizada por una valencia $Z$ . Por ejemplo, todos los iones Cl⁻ constituyen una especie de valencia $Z = - 1$ , todos los iones Ca²⁺ forman una especie de valencia $Z = + 2$ . En agua destilada tenemos dos especies de portadores de carga (OH⁻ y H⁺). Si tiene sal común, habrá 4 especies (Cl⁻, Na⁺, OH⁻ y H⁺). En el agua de mar hay una enorme variedad de especies.

Conductores metálicos: Constituyen el caso más típico de conductores y son los de mayores aplicaciones industriales, donde se usan materiales conductores como cobre, oro, platino, etc. En un material metálico la conducción se produce porque hay electrones libres. Existe una red de iones fijos (los núcleos y la mayoría de los electrones de cada átomo) y una nube de electrones formada por uno o dos electrones por cada átomo (uno en el caso del cobre). Estos electrones no están asociados a ningún átomo en concreto, sino que pertenecen conjuntamente a toda la red, produciendo lo que se llama un enlace metálico. Estos electrones pueden moverse más o menos libremente por el interior del material, formando la corriente eléctrica. En este caso tenemos una sola especie de portadores de carga, los electrones.

Semiconductor: Un semiconductor, como el carbono o el silicio, está formado por una red cristalina en la que los electrones están ligados a cada átomo formando enlaces covalentes. En una red sin defectos y a 0K no puede haber corriente eléctrica ya que no hay portadores de carga disponibles.

Sin embargo, existen dos motivos por los que aparecen portadores en estos materiales:

Por la agitación térmica, que hace que algunos electrones tengan energía suficiente para abandonar el átomo al que pertenecen.
Por la presencia de impurezas (“dopado”) de otros materiales, que tienen un electrón de más o de menos.

En ambos casos, tenemos un cierto número de electrones que pueden moverse por la red, funcionando como portadores de carga. Pero además, el efecto de que un electrón abandone su átomo es la aparición de un hueco. A medida que otros electrones van ocupando este hueco, el efecto es el movimiento aparente del hueco en sentido contrario. Por ello, en un semiconductor tenemos dos especies de portadores: los electrones, con valencia −1 y los huecos con valencia +1.

Plasma: Un plasma es un estado de la materia consistente en un gas ionizado. En un plasma tenemos una gran variedad de portadores, ya que hay gran número de estados de ionización posible. En un plasma las cargas se mueven por el aire sometidas a las interacciones con el resto de cargas y con los campos externos.

2 Densidad de corriente

La magnitud que mide el movimiento promedio de las cargas en un material es la densidad de corriente. Para definirla se toma un elemento de volumen $Δ v$ (que es microscópico, pero contiene millones de cargas en su interior), situado en el punto $\vec{r}$ , y se calcula el promedio del producto de las cargas por la velocidad

$\vec{J}=\frac{1}{\Delta v}\sum_{q_i\in\Delta v}q_i\vec{v}_i$

La densidad de corriente es una magnitud vectorial, análoga hasta cierto punto a la cantidad de movimiento: cuanta más carga haya, mayor es la densidad de corriente; cuanto más rápido se mueva, mayor es la densidad. Si no hay cargas (vacío) o no se mueven (electrostática) la densidad de corriente se anula.

De la definición de la densidad se tiene que se mueve en C·(m/s)/m³ = A/m² donde un amperio (A) es igual a 1 C/s.

Puesto que en la expresión aparece la velocidad, el sumatorio se puede restringir a los portadores de carga, ya que las cargas estáticas no contribuyen.

Por otro lado, podemos hacer la aproximación de que todos los iones de la especie $k$ se mueven con la misma velocidad promedio. En ese caso, podemos agrupar términos y escribir la densidad de corriente como

$\vec{J}= \sum_k N_k Z_k e \vec{v}_k$

donde

La suma se hace sobre el número de especies (una en un conductor metálico, dos en un semiconductor, unas cuantas en una disolución).
$N k$ es la densidad numérica del portador $k$ (p.ej. cuantos electrones libres hay por unidad de volumen).
$Z k$ , es la valencia de la especie $k$ , que sería -1 para los electrones.
$e$ es la carga elemental, que vale aproximadamente $1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .
$\vec{v}_k$ es la velocidad promedio de los iones de la especie $k$ . A esta velocidad se la conoce como velocidad de arrastre.

En el caso de un conductor metálico, los únicos portadores son los electrones y al expresión anterior se reduce a

$\vec{J}= -Ne\vec{v}$

siendo $N$ la densidad de electrones libres (no de todos los electrones, los que están fijos en los átomos no cuentan) y $\vec{v}$ es la velocidad de arrastre. Vemos que en este caso concreto, los electrones se mueven en un sentido y la densidad de corriente va en sentido contrario, por ser la carga negativa. Esto es fuente de infinitas confusiones. Por ello, a la hora de describir el movimiento de las cargas en un conductor, es preferible suponer que las cargas que se mueven son las positivas, aunque no corresponda a lo que ocurre en realidad. Los cálculos también son correctos de esta forma y es más sencillo.

El valor de la velocidad de arrastre puede ser extremadamente pequeño. Para un hilo de cobre que soporta una densidad de corriente de 1 A/mm² no llega a 1 mm/s. Uno pensaría que los electrones se mueven mucho más rápido y así es para cada electrón. La velocidad de arrastre es la velocidad promedio, no la rapidez promedio. Aunque el electrón puede moverse con una rapidez próxima a la velocidad de la luz, la mayor parte se su movimiento es aleatorio y hay muy poco avance neto.

La presencia de una densidad de corriente en un punto no es incompatible con la ausencia de una densidad de carga en ese punto. De hecho, podemos tener los cuatro casos:

Densidad de carga nula $ρ = 0$ y densidad de corriente nula $\vec{J}=\vec{0}$: Esto es lo que ocurre en un vacío total, en el que no hay nada, pero también en el interior de un conductor en equilibrio. En ese caso, que no haya densidad de carga no significa que no haya cargas. Hay millones de ellas, lo que ocurre es que hay tantas positivas como negativas. Al estar en equilibrio, en promedio están inmóviles y también se anula la densidad de corriente.
Densidad de carga no nula $\rho\neq 0$ y densidad de corriente nula $\vec{J}=\vec{0}$: Es lo que ocurre cuando tenemos una densidad de carga estática, como en muchos problemas de electrostática.
Densidad de carga nula $ρ = 0$ y densidad de corriente no nula $\vec{J}\neq \vec{0}$: Es el caso habitual en un material conductor (metal, disolución o semiconductor). En cada punto hay tantas cargas positivas como negativas, pero se están moviendo. En un metal, por cada electrón en movimiento hay un ion en reposo. Solo los primeros contribuyen a la densidad de corriente, pero los dos lo hacen a la densidad de carga.
Densidad de carga no nula $\rho \neq 0$ y densidad de corriente no nula $\vec{J}\neq \vec{0}$: Es el caso general, que se da sobre todo en los plasmas, en los que tenemos nubes de cargas en movimiento, sin que estén compensadas las positivas por las negativas.

3 Intensidad de corriente

La densidad de corriente es una medida adecuada de lo que ocurre en cada punto de un material, de si las cargas se están moviendo o no y hacia adonde lo hacen.

En la mayoría de las aplicaciones, en particular en la teoría de circuitos, interesa más el efecto global del movimiento de las cargas.

Supongamos que tenemos un material conductor en forma de cilindro (un cable, por ejemplo) por el cual está circulando una corriente. Nos preguntamos entonces cuanta carga atraviesa una sección del conductor en la unidad de tiempo. Esta cantidad es la intensidad de corriente definida como el flujo de la densidad de corriente través de una sección del conductor

$I = \int_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

de forma que la carga que pasa en un tiempo $d t$ es igual a

$\mathrm{d}Q = I\,\mathrm{d}t$

La intensidad de corriente es una magnitud escalar con signo. El signo de la intensidad de corriente nos dice para donde va la corriente respecto de la orientación de la superficie. Cuando se traza la superficie $S$ , su vector normal tiene dos posibles sentidos. Si al hallar el flujo resulta una cantidad positiva quiere decir que las cargas positivas se mueven en el sentido elegido. Si la intensidad resulta negativa, quiere decir que se mueven en el sentido contrario al elegido (con las cargas negativas sería al revés).

La unidad de medida de la intensidad de corriente es el amperio (A), que es una de las unidades fundamentales del Sistema Internacional. Un amperio es una medida razonable para las corrientes existentes en la industria. Un aparato electrónico, como un ordenador tiene corrientes del orden de los mA. Una red eléctrica doméstica o una máquina puede tener corrientes de varios amperios. Una red de alta tensión puede llegar hasta los kA circulando por los cables.

En términos del amperio, la unidad de carga, el culombio (C), se define como 1 C = 1 A·s

4 Ley de conservación de la carga

Una de las propiedades fundamentales de la interacción eléctrica es que la carga eléctrica se conserva. Para cualquier volumen la cantidad de carga contenida en su interior solo puede cambiar porque entre carga desde fuera o porque salga al exterior, nunca porque se cree de la nada.

Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

donde:

$S$ es una superficie cerrada que contiene un volumen $v$ .
$Q = Q (t)$ es la carga contenida en $v$
$d Q / d t$ es el aumento de la carga contenida por unidad de tiempo.
$- d Q / d t$ es la disminución de la carga contenida por unidad de tiempo.
$\oint_S$ representa la integral sobre toda la superficie cerrada $S$ .
$\vec{J}$ es la densidad de corriente en todos los puntos de la superficie $S$
$\mathrm{d}\vec{S}$ es el vector diferencial de superficie

$\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{n}$

donde para una superficie cerrada, $\vec{n}$ se toma siempre hacia el exterior.

Esta misma ley puede leerse de otras formas. Por ejemplo si la escribimos

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint_S \vec{J}\cdot(-\mathrm{d}\vec{S})$

diríamos que lo que aumenta la carga contenida se debe al flujo de corriente hacia el interior.

Caso de una corriente estacionaria: En el estado estacionario, la carga contenida en un volumen no cambia, por lo que la ley de conservación de la carga se reduce a

$\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0\qquad\qquad \mbox{(estado estacionario)}$

5 Aplicación a un circuito

5.1 Conservación de la corriente

La ley de conservación de la carga tiene una aplicación inmediata a la teoría de circuitos. Consideremos en primer lugar el caso de un conductor a lo largo del cual circula una corriente, siendo el exterior vacío (que suponemos perfectamente aislante). El conductor puede tener sección variable y estar hecho de diferentes materiales.

Suponemos que por este conductor circula una corriente estacionaria.

Si consideramos una superficie cerrada $S$ que corta al conductor en dos secciones $S 1$ y $S 2$ . Por ser la corriente estacionaria

$0 = \oint_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{S_1} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}_1 + \int_{S_2} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}_2$

Si tomamos la intensidad de corriente a lo largo del conductor como el flujo de la densidad de corriente hacia adelante, entonces

$I_1 = -\int_{S_1}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}_1\qquad\qquad I_2 = \int_{S_2}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}_2$

(el signo negativo de la primera integral se debe a la diferente orientación del vector normal). Tenemos entonces que

$-I_1 + I_2 =0\qquad\Rightarrow\qquad I_1 = I_2$

lo cual expresa una propiedad bastante intuitiva: por un conductor por el que circula una corriente estacionaria, la intensidad de corriente es la misma para cualquier sección que tomemos, o dicho en términos aun más llanos, que todas las cargas que entran por un sitio deben salir por el otro.

En términos de teoría de circuitos esto implica que:

Dado un conjunto de elementos puestos en serie, la intensidad de corriente es la misma en todos ellos.

En el caso de un conductor de sección variable, se deduce que la densidad de corriente es mayor donde la sección es menor y viceversa.

5.2 Ley de Kirchhoff para los nodos

Lo anterior vale para el caso de que la corriente fluya a lo largo de una sola rama. ¿qué ocurre si tenemos varias ramas conectadas en un nodo de un circuito? En ese caso, el razonamiento es una extensión del anterior. Considerando una superficie cerrada alrededor del nodo, que cortará a las diferentes ramas en las secciones en las superficies $S 1$ , $S 2$ ,… $S n$ . Al ser nula la integral sobre la superficie cerrada obtenemos

$0 = \oint_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\sum_k\int_{S_k} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}_k$

o, en términos de las intensidades de corriente

$\sum_k I_k = 0\,$

donde consideramos todas las corrientes como saliendo del nodo (lógicamente, algunas serán positivas y otras negativas). Esta es la conocida como ley de Kirchhoff para los nodos (o primera ley de Kirchhoff).

Si distinguimos las corrientes que llegan al nodo y las que salen de él con su signo correspondiente, queda

$\sum_k I_k^{\mathrm{in}}=\sum_p I_{p}^\mathrm{out}\,$

es decir, que la suma de las corrientes que llegan al nodo es igual a la suma de las que salen de él. De nuevo, esta es una propiedad intuitiva. Si a un nodo llega una corriente $I 0$ y del nodo salen dos ramas, la corriente se repartirá entre ambas, de forma que

$I_0 = I_1+I_2\,$

En particular, este resultado nos dice que dada una asociación de elementos en paralelo, la intensidad corriente total que circula por la asociación es la suma de las que van por cada una de las ramas.

5.3 Condensador real

Si tenemos un condensador con pérdidas, es decir, el material entre las placas no es un dieléctrico perfecto, sino que permite un cierto flujo de carga por su interior debemos considerar la variación de la carga en las placas y las corrientes que fluyen por el cable y por el medio material.

Archivo:Condensador-real-campos-cargas.png

Si consideramos una superficie S que envuelve a la placa positiva, la ley de conservación de la carga nos da

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_\mathrm{cable}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}+\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Al considerar el flujo a través de la superficie S la normal va hacia afuera, pero si llamamos I a la intensidad de corriente que llega por el cable se cumple la relación

$I=\int_\mathrm{cable}\vec{J}\cdot(-\mathrm{d}\vec{S})=-\int_\mathrm{cable}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

y por tanto la ley de conservación de la carga nos da

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-I+\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

o, equivalentemente,

$I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

La corriente que llega a este elemento en parte se va en variar la carga almacenada (componente capacitiva) y en parte se escapa por el material (componente resistiva).

Esta ley admite varios casos particulares de interés:

Corriente continua: En el caso de que la tensión entre las placas no dependa del tiempo, la carga en las placas es constante y la relación anterior se reduce a

$\left(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=0\right)\qquad\qquad I=\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

En este caso, toda la carga que llega por el cable se escapa por el material. El sistema se comporta como un resistor.

Condensador ideal: Si el medio que hay entre las placas es un dieléctrico perfecto no puede fluir corriente por él y la ecuación se reduce a

$\left(\vec{J}_\mathrm{medio}=\vec{0}\right)\qquad\qquad I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$

la corriente que llega se emplea en variar la carga almacenada.

Descarga de un condensador: Si se desconecta el cable de alimentación no llega corriente por el cable y

$\left(I=0\right)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

En este caso el condensador se va descargando progresivamente, a medida que las cargas de las placas escapan por el material intermedio.

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1 Modelos de conducción

2 Densidad de corriente

3 Intensidad de corriente

4 Ley de conservación de la carga

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5.1 Conservación de la corriente

5.2 Ley de Kirchhoff para los nodos

5.3 Condensador real

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