Velocidad de arrastre en un hilo de plata

De Laplace

1 Enunciado

Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

2 Solución

La densidad de corriente en el hilo, si se distribuye uniformemente por sus sección será igual a

$|\vec{J}| = \frac{I}{S}=2\times 10^{5}\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}$

En un hilo metálico los únicos portadores de corriente son los electrones. Por ello, la densidad de corriente será igual a la densidad de carga de estos portadores multiplicada por su velocidad en la dirección de la corriente

$\vec{J} = \sum_k N_k Z_k e \vec{v}_k = -N_e e\vec{v}_e$ $\Rightarrow$ $|\vec{J}| = N_e e v_e\,$

Cada átomo de plata contribuye con un electrón a la corriente. Por ello, el número de electrones de conducción por unidad de volumen coincide con el número de átomos de plata por unidad de volumen.

A su vez, podemos calcular la densidad numérica de átomos conociendo la masa atómica y la densidad de masa, ya que ésta será igual al número de átomos multiplicada por la masa de cada uno

$\rho_m = P_\mathrm{Ag} N_\mathrm{Ag}\,$ $\Rightarrow$ $N_e = N_\mathrm{Ag} = \frac{\rho_m}{P_\mathrm{Ag}}$

El peso de un átomo de plata es igual al peso atómico, expresado en gramos, dividido por el número de Avogadro. Esto nos da la densidad de átomos

$N_\mathrm{Ag}=\frac{\rho_m N_A}{P_m} = \frac{10.47 \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3\cdot 6.023\times 10^{23}\,\mathrm{atomos}/\mathrm{mol}}{107.9\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 5.84\times 10^{22}\,\frac{\mathrm{atomos}}{\mathrm{cm}^3}$

La densidad de carga (en valor absoluto) debida a los electrones libres de la plata es

$|\rho_e| = N_ee = N_\mathrm{Ag}e = 9.38\times 10^9 \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^3}$

Esta densidad de carga tan gigantesca, de casi diez culombios por milímetro cúbico, muestra que los electrones libres están neutralizados por cargas positivas inmóviles (los iones de la red), y que $ρ e$ no es la densidad de carga del sistema (sería imposible reunir tanta carga en tan poco espacio). Una cosa es la densidad de portadores, y la carga asociada a ellos, y otra la densidad de carga neta.

La velocidad de arrastre sale de dividir la densidad de corriente por la densidad de carga de los portadores

$v_e = \frac{|\vec{J}|}{|\rho_e|}=\frac{I P_m}{Se\rho_m N_A} = 2.13\times 10^{-5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= 21.3\,\frac{\mu\mathrm{m}}{s}=77\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{h}}$

Vemos que la velocidad neta de avance de las cargas es realmente minúscula.

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