Campo magnético de una corriente distribuida uniformemente (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un cable largo y recto de material conductor no magnético, con sección circular de radio $R$ , transporta una corriente estacionaria de intensidad constante $I 0$ que se distribuye uniformemente en la sección transversal del conductor. Calcule el campo magnético a una distancia $ρ$ del eje del cable en las regiones $\rho\geq R$ (exterior), y $ρ < R$ (interior del conductor).

2 Solución

2.1 Geometría de la distribución de corriente y del campo magnético

El medio conductor (no magnético) donde se mantiene la corriente estacionaria

I 0

, constituye un cilindro de longitud indefinida y sección

S

circular, de radio

R

, cuyo eje tomaremos como dirección

O Z

. Cuando el cable conductor es recorrido por una corriente eléctrica, el propio cable constituye un tubo de corriente cuyas paredes laterales están formadas por líneas del campo $\mathbf{J}$ (densidad volumétrica de corriente). Y siempre que el cable sea relativamente delgado, la corriente estará uniformemente distribuida en la secciones transversales del cable, las cuáles consituirán superficies equipotenciales. En estas condiciones, el campo vectorial $\mathbf{J}$ que describe la distribución volumétrica de la corriente va a ser un campo uniforme; es decir, de módulo constante y cuya dirección y sentido en cualquier punto viene dado por el vector unitario $\mathbf{k}$ . La intensidad de la corriente que recorre el cable es el flujo de esta densidad volumétrica a través de cualquiera de sus secciones transversales, que en todos sus puntos tienen a $\mathbf{k}$ como vector normal. Así, la densidad volumétrica de corriente en cualquier punto del interior del cable conductor puede obtenerse fácilmente: $\left.\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{J}=J\!\ \mathbf{k}\\ \\ \displaystyle \mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{k}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;I_0=\int_S\!\ \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=J\int_S\!\ \mathrm{d}S=J\!\ \pi R^2\;\;\Longrightarrow\;\;\mathbf{J}=\frac{I_0}{\pi\!\ R^2}\ \mathbf{k}$

Obsérvese que es éste un campo vectorial tal que cada una de sus líneas de campo coincide plenamente con el concepto de hilo de corriente o corriente filiforme, que en este caso es además rectilínea. Para determinar cuánto vale el elemento de corriente característico de dicha corriente en cada punto del hilo, consideramos un volumen infinitesimal $Δτ'$ en el entorno de un punto cualquiera de la distribución de corriente. Dicho volumen va a tener una lontigud infinitesimal en la dirección de la corriente, y una sección muy pequeña $Δ S'$ , contenida en una sección transversal del cable. Si multiplicamos este elemento de volumen por la densidad volumétrica de corriente en dicho punto, se obtiene:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \Delta \mathbf{S'}=\Delta S'\!\ \mathbf{k}\\ \\ \displaystyle \mathrm{d}\mathbf{r'}=\mathrm{d}z'\!\ \mathbf{k}\end{array}\right\}\;\;\longrightarrow\;\; \mathbf{J}\!\ \mathrm{d}\tau'=\mathbf{J}\!\ (\Delta\mathbf{S'}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r'})=J\!\ \Delta S'\!\ \mathrm{d}z'\!\ \mathbf{k}=\Delta I\!\ \mathrm{d}\mathbf{r'}$

donde $Δ I = I 0 Δ S' / (π R 2)$ es la intensidad (muy pequeña, infinitesimal) que circula por cada una de las líneas/hilos de corriente $Γ'$ que hay en el interior del cable. Consideremos una de estas líneas o hilos de corrientes, paralela al eje $O Z$ , y que cruza los planos perpendiculares por los puntos de coordenadas $P'(x', y')$ . Como se vio en otro ejercicio, el campo magnético de una corriente filiforme de longitud indefinida tiene simetría cilíndrica en torno al correspondiente hilo de corriente, siendo su expresión en coordenadas cartesianas:

$\Delta \mathbf{B}(P)= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\Gamma'}\!\ \frac{\Delta I\!\ \mathrm{d}\mathbf{r'}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}\approx\frac{\mu_0\!\ \Delta I}{2\!\ \pi}\ \frac{(y'-y)\!\ \mathbf{i}\!\ + (x-x')\!\ \mathbf{j}}{(x-x')^2+(y-y')^2}$

donde $P (x, y)$ es el punto del plano donde se evalúa la contribución al campo magnético de la línea o hilo de corriente considerada.

El campo magnético total en el punto $P (x, y)$ se obtendrá sumando las contribuciones de todos los hilos de corriente. Para ello, se considera que sus secciones tienen un área infitesimal, $\Delta S '\rightarrow dx'dy'$ , y se procede a realizar la correspondiente integral de superficie:

$\mathbf{B}(P)=\int\! \mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{\mu_0\!\ I_0}{2\!\ \pi^2 R^2}\int\!\!\int_S\! \frac{(y'-y)\!\ \mathbf{i}\!\ + (x-x')\!\ \mathbf{j}}{(x-x')^2+(y-y')^2}\ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$

Sin embargo, en vez de proceder a la integración directa de esta expresión, calcularemos el campo magnético creado por la corriente indefinida y de distribución uniforme mediante la aplicación de las leyes de Gauss y de Ampère. No obstante, de la anterior expresión integral aprovecharemos el resultado de que el campo magnético total, al igual que los elementales creados por cada línea de corriente), no puede tener componente en la dirección del eje $O Z$ . Además, la simetría de la distribución de corriente en cada plano perpendicular a esa dirección tiene como consecuencia que no haya direcciones privilegiadas para establecer como ejes $O X$ y $O Y$ . Por tanto, las componentes del campo magnético en dicho plano deben presentar simetría cilíndríca: sólo van a depender de la distancia $ρ$ desde el eje $O Z$ al punto donde se evalúa el campo. Nótese que si el cable que soporta la distribución de corriente tiene longitud infinita, cualquier plano perpendicular a la dirección del unitario $\mathbf{k}$ podría elegirse como plano de referencia $z = 0$ , por lo que el campo magnético tampoco va a ser función de dicha coordenada.

Si utilizamos las coordenadas polares $\{\rho;\varphi\}$ y su correspondiente base ortonormal $\{\mathbf{u}_\rho;\mathbf{u}_\varphi\}$ para describir analíticamente las magnitudes vectoriales en los planos $z$ , se tendrá que el campo magnético creado por la distribución de corriente en cualquier punto del espacio será de la forma,

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=B_\rho(\rho)\!\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)+B_\varphi(\rho)\!\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

2.2 Aplicación de la Ley de Gauss

La ley de Gauss para el campo magnético $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ establece que su flujo a través de toda superficie cerrada es siempre nulo, debido a que las líneas de dicho campo son “curvas no abiertas” (no existen puntos donde empiecen o terminen):

$\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0\,\mathrm{,}\,\;\forall\,\partial\tau$

Tomemos una superficie cerrada $\partial\tau$ que se adapte a la simetría cilíndrica que hemos deducido para el campo magnético, es decir, se tratará de la superficie de un cilindro recto, coaxial con el cable, de radio $ρ$ y altura $h$ arbitrarios. En dicha superficie, el vector unitario cartesiano $\mathbf{k}$ es el normal a las bases superior e inferior, y el unitario $\mathbf{u}_\rho(P)$ de las coordenadas polares, es el normal a la superficie lateral en el punto $P$ . En consecuencia, el campo magnético es tangente a las bases y, por tanto, su flujo allí es nulo. Mientras, en la superficie lateral sólo contribuye al flujo la componente del campo en la dirección $\mathbf{u}_\rho$ . Y como se vió anteriormente, las componentes del campo magnético sólo van a ser función de la distancia $ρ$ al eje del cable, por lo que $B ρ (ρ)$ tiene idéntico valor en todos los puntos de la superficie lateral de $\partial\tau$ :

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\big\rfloor_\mathrm{u,d}=0\\ \\ \displaystyle\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\big\rfloor_\mathrm{lat}=B_\rho(\rho)\!\ \mathrm{d}S_\mathrm{lat}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=B_\rho(\rho)\int_{S_\mathrm{lat}}\!\! \mathrm{d}S_\mathrm{lat}=0$

Y como la superficie lateral de la superficie gaussiana es distinta de cero, se obtiene que la componente en la dirección del unitario $\mathbf{u}_\rho$ es nula, cualquiera que sea el valor de $ρ$ :

$B_\rho(\rho)=0\,\mathrm{,}\,\;\;\forall\,\rho\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{B}(\mathbf{r})=B(\rho)\!\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

En consecuencia, el campo magnético creado por la distribución de corriente eléctrica uniforme e indefinida sólo tendrá componente en la dirección de $\mathbf{u}_\varphi$ , por lo que las líneas campo serán circunferencias contenidas en planos perpendiculares a la dirección $O Z$ y con centro en dicho eje.

2.3 Aplicación de la Ley de Ampère

Para determinar cómo depende esta componente del campo con la distancia $ρ$ al eje de la distribución, aplicamos la ley de Ampère, que establece que la circulación del campo magnético $\mathbf{B} (\mathbf{r})$ alrededor de cualquier curva cerrada $\partial\Sigma$ es proporicional a la intensidad de la corriente eléctrica que pasa a través de cualquier superficie $Σ$ que tenga por borde a la curva $\partial\Sigma$ :

$\int_{\partial\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mu_0\!\ I\big\rfloor_\Sigma=\mu_0\int_\Sigma\!\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

Hay que hacer notar que el sentido que se adopte en el calculo de la circulación del campo magnético sobre la curva $\partial\Sigma$ , está supeditado al sentido en que se evalúa el flujo de la densidad de corriente a través de $Σ$ para determinar la intensidad, y viceversa. Utilizaremos para ello el criterio levógiro o del triedro directo, tal como puede verse en las siguientes figuras:

Y como la curva $\partial\Sigma$ puede ser cualquiera y nuestro objetivo es determinar la magnitud del campo magnético, calculemos la circulación de éste sobre una de sus líneas de campos; es decir, evaluaremos la ley de Ampère en una circunferencia centrada en el eje $O Z$ , contenida en un plano perpendicular a dicho eje ( $z$ constante en todos sus puntos) y de radio arbitrario $ρ$ . Como se sabe, en cada punto de esta circuferencia $\partial\Sigma$ , los vectores $\mathbf{u}_\rho$ y $\mathbf{u}_\varphi$ de las coordenadas polares son, respecivamente, normal y tangente a dicha circunferencia:

$\partial\Sigma:\left\{\begin{array}{l}\rho, \mathrm{cte.}\\ \\ z, \mathrm{cte.}\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\mathbf{r}\big\rfloor_{\partial\Sigma}=\mathrm{d}l\!\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

donde el sentido adoptado para el $\mathrm{d}\mathbf{r}$ indica que calculamos la circulación del campo en sentido antihorario (visto desde el semiespacio $z > 0$ ). Por otra parte, como la magnitud del campo magnético en un punto sólo depende de la distancia $ρ$ desde el punto al eje $O Z$ , se tendrá que dicha magnitud será la misma cantidad $B (ρ)$ en todos los puntos de la circunferencia $\partial\Sigma$ , por lo que puede salir fuera de la integral; se tendrá, por tanto,

$\int_{\partial\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=B(\rho)\!\ \int_{\partial\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\ \mathrm{d}l=2\pi\rho\!\ B(\rho)$

Es decir, la circulación de $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ sobre una de las líneas del propio campo magnético es igual a la intensidad de éste multiplicada por la longitud de la línea. Obsérvese que este resultado es válido para cualquier valor del radio $ρ$ , indepéndientemente de que la línea de campo sobre la que se calcual su circulación esté fuera o dentro de la distribución e corriente.

Evaluemos ahora el segundo miembro que aparece en la expresión de la ley de Ampère: la intesidad de corriente o flujo de la densidad volumétrica de corriente que atraviesa la superficie que se “apoya” en una línea de campo magnético. Nótese que ésta podría ser cualquier superficie $Σ$ cuyo borde sea la circunferencia de radio $ρ$ . Obviamente tomaremos aquélla que nos permita realizar un cálculo más sencillo: el disco de radio $ρ$ con centro en el eje $O Z$ y perpendicular a éste. En todos los puntos de $Σ$ , el vector elemento de superficie tiene la dirección del unitario $\mathbf{k}$ de las coordenadas cartesianas que, como se vió en el primer apartado, es también la dirección de la densidad volumétrica de corriente. En cuanto a su sentido de $\mathrm{d}\mathbf{S}$ , va a estar determinado por la elección que realizamos en el sentido de circulación sobre $\partial\Sigma$ : como éste era antihorario, el elemento de superficie debe tener el sentido positivo del eje $O Z$ .

$\mathrm{d}\mathbf{S}\big\rfloor_\Sigma=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{k}\quad\Longrightarrow\quad I\big\rfloor_\Sigma=\int_\Sigma\!\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_\Sigma\!J(\rho)\!\ \mathrm{d}S$

donde nótese que se considera la densidad volumétrica de corriente como una función de la variable geométrica $ρ$ . En consecuencia, la intensidad de corriente que cruza el disco $Σ$ también va a depender del radio de éste:

$\mathbf{J}=\begin{cases}\displaystyle\frac{I_0}{\pi R^2}\ \mathbf{k}\mathrm{;}\,&\rho<R\\ \\ \mathbf{0}\,\mathrm{;}\,&\rho>R\end{cases}\quad\Longrightarrow\qquad I\big\rfloor_\Sigma=\frac{I_0}{\pi R^2}\int_{\Sigma(\rho)} \mathrm{d}S=I(\rho)=\begin{cases}I_0\,\mathrm{;}\,& \rho >R\\ \\ \displaystyle I_0\ \frac{\rho^2}{R^2}\,\mathrm{;}\,&\rho\leq R\end{cases}$

Aplicamos ahora la ley de Ampère para relacionar esta intensidad de corriente a través del disco $Σ$ con la circulación del campo magnético alrededor de su perímetro $\partial\Sigma$ y obtenemos la expresión en cualquier punto del espacio del campo mangético creado por la corriente eléctrica de intensidad $I 0$ uniformemente distrubuida en un cable cilíndrico de radio $R$ y longitud indefinida:

$\mu_0\!\ I(\rho)=2\pi\rho\!\ B(\rho)\quad\longrightarrow\qquad\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{\mu_0\!\ I_0}{2\pi\rho}\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)\,\mathrm{;}\quad\rho >R\\ \\ \displaystyle\frac{\mu_0 I_0\!\ \rho}{2\pi R^2}\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)\,\mathrm{;}\quad\rho \leq R\end{cases}$

Es decir, además de tener como líneas de campo circunferencias concéntricas con el eje de la distribución de corriente, la magnitud del campo magnético en el exterior decrece de manera inversamente proporcional con la distancia (igual que en el caso de un hilo rectilíneo de espesor despreciable), mientras que en el interior de la distribución crece linealmente con la distancia al eje.

Campo magnético de una corriente distribuida uniformemente (F2GIA)

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2 Solución

2.1 Geometría de la distribución de corriente y del campo magnético

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