Anillo rotando en el campo de otro anillo
De Laplace
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1 Enunciado
Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio b y está situado en el plano XY. El otro, de radio a, está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo θ con el eje Z. El radio b, es mucho mayor que a.
- Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.
- Suponga que por el anillo exterior se hace circular una corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo θ varía con velocidad constante ω.
- Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
- Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución. ¿De dónde procede esta energía?
2 Coeficiente de inducción mutua
Al ser el anillo interior muy pequeño, podemos suponer que el campo en todos sus puntos debido a la espira exterior es aproximadamente igual al campo en el centro de ésta.
![\vec{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2b}\vec{k}](/wiki/images/math/0/3/2/0323c0cb5e8da2781585233e335d2270.png)
Entonces, al calcular el flujo a través del anillo exterior, podemos suponer que el campo es constante y extraerlo de la integral
![\Phi_m=\int_{S_2}\vec{B}_1\cdot\mathrm{d}\vec{S}_2=\vec{B}_1\cdot\left(\int_{S_2}\mathrm{d}\vec{S}_2\right)=\vec{B}_1\cdot\vec{S}_2](/wiki/images/math/d/5/2/d52d76bbf42b5725c7f1363d93b9ae75.png)
siendo el vector superficie uno que tiene por módulo el área de la superficie apoyada en la espira , por dirección la normal a ella y por sentido el dado por la regla de la mano derecha
![\vec{S}_2=\pi a^2\vec{n}](/wiki/images/math/3/9/3/393d599f8ea8c5ef80c275adcab657ad.png)
Por tanto, el flujo a través de la espira pequeña es
![\Phi_m=\frac{\mu_0I_1}{2b}\pi a^2 \vec{k}\cdot\vec{n}=\frac{\mu_0\pi a^2}{2b}\cos(\theta)](/wiki/images/math/5/2/6/52605be7f80696c80b3fc1c5ef225fa0.png)
con θ el ángulo que forman los dos vectores unitarios. Despejando de aquí obtenemos el coeficiente de inducción mutua
![\Phi_m=MI_1 \qquad\Rightarrow\qquad M=\frac{\mu_0\pi a^2}{2b}\cos(\theta)](/wiki/images/math/d/a/b/dab0ae8b395151d7924d850b83a3ed6b.png)
3 Corriente inducida
Cuando la espira está girando, el ángulo θ va cambiando como
![\theta=\omega t\,](/wiki/images/math/a/7/e/a7e8b6be325062b0884d997f6a817169.png)
por lo que el flujo magnético es una función sinusoidal
![\Phi_m=\frac{\mu_0\pi a^2I_0}{2b}\cos(\omega t)](/wiki/images/math/4/a/0/4a0b015c84e4f518ff687e22ff03205b.png)
Por ello, como en el problema de la espira rotatoria, el resultado para la corriente inducida es una corriente alterna
![I =-\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=I_\mathrm{max}\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/4/0/c/40c32ef309571efd3e640642f10d26ec.png)
con la amplitud
![I_\mathrm{max}= \frac{\mu_0\pi a^2I_0\omega}{2bR}](/wiki/images/math/b/1/6/b1630acd61a21569dfa2c5bf1bb064fd.png)
4 Energía disipada
De nuevo como en el problema de la espira rotatoria, en el anillo interior se disipa una potencia
![P =I^2R = I_\mathrm{max}^2R\,\mathrm{sen}^2(\omega t)](/wiki/images/math/8/0/f/80f171aa5ca3812fe84d06740a8c7298.png)
siendo la energía total disipada en un periodo
![W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t=\frac{I_\mathrm{max}^2RT}{2}](/wiki/images/math/8/8/2/882e083f8fa4470bb4f12f811973a9b5.png)