Espira cuadrada que gira en un campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Cálculo de la intensidad
3 Cálculo de la potencia
4 Transformación de energía mecánica en eléctrica

1 Enunciado

Una espira cuadrada de lado $a=2\,\mathrm{cm}$ , de hilo de cobre de sección $A=0.5\,\mathrm{mm}^2$ gira con frecuencia $f=400\,\mathrm{Hz}$ en el interior de un campo magnético uniforme de módulo $B_0=200\,\mathrm{mT}$ . El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

Determine la corriente que se induce en la espira.
Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

2 Cálculo de la intensidad

Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday

$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

El flujo magnético es igual a

$\Phi_m=\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\vec{B}_0\cdot\vec{n}S$

por ser $\vec{B}_0$ uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo

$\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)\,$

Derivando obtenemos la fuerza electromotriz.

$\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)=\mathcal{E}_0\mathrm{sen}(\omega t)$

Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna.

Un resultado generalizable es que esta f.e.m. es proporcional al área de la espira y a la frecuencia de giro. Por ello si, como ocurre en un avión, interesa reducir el tamaño del generador, es preciso aumentar su frecuencia.

Sustituyendo los valores numéricos

$\omega = 800\pi\,\mathrm{s}^{-1} = 2513\,\mathrm{s}^{-1}\,$

$\mathcal{E}_0=0.20\,\mathrm{V}$

La corriente que circula por la espira es igual a

$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B_0a^2\omega}{R}\mathrm{sen}(\omega t)$

donde la resistencia vale

$R=\frac{4a}{\sigma A} = 2.7\,\mathrm{m}\Omega$

y la amplitud de la intensidad

$I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=\frac{B_0aA\sigma\omega}{4} = 74\,\mathrm{A}$

3 Cálculo de la potencia

Podemos calcular la potencia disipada en el conductor por aplicación de la ley de Joule

$P=I^2R = \mathcal{E}I = \mathcal{E}_0I_0\,\mathrm{sen}^2(\omega t)$

Esta potencia es oscilante, pero siempre positiva. La energía total disipada en un periodo es positiva

$W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \mathcal{E}_0I_0\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t)\mathrm{d}t = \frac{\mathcal{E}_0I_0T}{2}$

Sustituyendo los valores numéricos resulta, para la potencia máxima

$P_0=\mathcal{E}_0I_0=14.9\,\mathrm{W}$

y para la energía disipada en un periodo

$W_d= 19\,\mathrm{mJ}$

Este es un sistema en el que la potencia eléctrica producida en el generador es consumida en el propio generador (ya que la resistencia de la espira es una resistencia interna). En un generador real, la espira no es cerrada, sino que está conectada a un circuito externo, que es donde se consume la energía generada en la rotación.

4 Transformación de energía mecánica en eléctrica

Según hemos visto, en este sistema se está generando energía eléctrica, que es consumida en la propia espira o en el exterior. Ahora bien, ¿de dónde procede esta energía? No de la energía interna, ni de calor que entra. Por tanto, debe haber un flujo de trabajo entrante que iguale al saliente. Este trabajo entrante es el trabajo mecánico necesario para mantener la rotación de la espira.

$\dot{W}^\mathrm{mec}_\mathrm{in}=\dot{W}^\mathrm{e}_\mathrm{out}$

Para hacer los cálculos tomamos el eje Z en la dirección del campo magnético

$\vec{B}=B_0\vec{k}$

y que el eje de giro de la espira es el eje Y, de manera que su velocidad angular es

$\vec{\omega}=\omega\vec{\jmath}$

En este caso, al girar la espira, el vector normal a ella va girando en el plano XZ como

$\vec{n}=\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{k}$

En cada instante la espira posee un momento magnético

$\vec{m}=IS\vec{n}=IS\left(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{k}\right)$

Sobre este momento dipolar, el campo magnético efectúa un par

$\vec{M}_m=\vec{m}\times\vec{B}=IS\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \mathrm{sen}(\omega t) & 0 & \cos(\omega t) \\ 0 & 0 & B_0\end{matrix}\right|=-ISB_0\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

Para mantener la rotación a ritmo constante, el agente externo que hace girar la espira debe efectuar un par de fuerzas opuesto a este.

$\vec{M}_\mathrm{ext}=-\vec{M}_m=ISB_0\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

La potencia desarrollada por este par externo es igual a

$\dot{W}^\mathrm{mec}_\mathrm{in}=P_\mathrm{ext}=\vec{M}_\mathrm{ext}\cdot\vec{\omega}$

Sustituyendo el momento y la velocidad angular

$\dot{W}^\mathrm{mec}_\mathrm{in}=ISB_0\mathrm{sen}(\omega t)\omega$

que es igual a

$\dot{W}^\mathrm{mec}_\mathrm{in}=I\mathcal{E}=\dot{W}^e_\mathrm{out}$

Este es el principio de un generador eléctrico como los que puede haber en una central hidroeléctrica o un aerogenerador. Un agente mecánico (agua, viento) hace girar una parte del generador (el rotor), lo que induce una corriente alterna (en el estátor), convirtiéndose energía mecánica en eléctrica. En los sistemas reales, no obstante, no es la espira la que gira en el campo magnético, sino el propio campo el que rota (haciéndose girar un imán) quedando estacionaria la espira.

Espira cuadrada que gira en un campo magnético

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