Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)
De Laplace
(Página creada con '= Enunciado = right Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa …') |
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en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra. | en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra. | ||
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>. | #Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>. | ||
- | #Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>. | + | #Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>. |
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>. | #Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>. | ||
#Calcula la energía cinética total del sistema. | #Calcula la energía cinética total del sistema. | ||
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# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>. | # El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>. | ||
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>. | # La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>. | ||
+ | # El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>. | ||
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>. | #El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>. | ||
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+ | == Posiciones de los C.I.R. == | ||
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+ | De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R. | ||
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+ | I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A. | ||
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+ | La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras: | ||
+ | #Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte. | ||
+ | #Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte. | ||
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+ | == Ligaduras cinemáticas == | ||
+ | Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math> | ||
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+ | \begin{array}{ll} | ||
+ | \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\ | ||
+ | \vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1. | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro | ||
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+ | <math> | ||
+ | \left. | ||
+ | \begin{array}{l} | ||
+ | \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\ | ||
+ | \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} | ||
+ | = (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k}, | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | \Longrightarrow | ||
+ | \dot{\theta} = -\dot{s}/R. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{array}{ll} | ||
+ | \vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} = | ||
+ | (\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1. | ||
+ | \\ | ||
+ | & \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1. | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left. | ||
+ | \begin{array}{l} | ||
+ | \dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\ | ||
+ | \dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0. | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | \Longrightarrow | ||
+ | a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> |
Revisión de 22:04 17 feb 2021
Contenido |
1 Enunciado
Un aro de masa m y radio R (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa (eje fijo OX1). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa m y longitud 2R (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje OY1 y el raíl es 4R. La gravedad actúa como se indica en la figura. Una fuerza actúa sobre el extremo B de la barra.
- Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a O.
- Demuestra que existen dos ligaduras de la forma . Encuentra los valores de los coeficientes a,b,c,d.
- Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de φ y .
- Calcula la energía cinética total del sistema.
- Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
- Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.
2 Solución
2.1 Datos que se pueden deducir del enunciado
- Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje Z.
- El aro rueda sin deslizar: .
- La barra está articulada en el cento del aro: .
- El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo OX1: .
- El punto B de la barra se mueve en un raíl vertical: .
2.2 Posiciones de los C.I.R.
De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
- Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, es paralela al eje OY1. Trazando por B una perpendicular a , encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
- Como A es I20, se tiene que es paralela a OX1. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos A y B encontramos I01 en el punto de corte.
2.3 Ligaduras cinemáticas
Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas {s,θ,φ}
Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
La otra ligadura es que . Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
Como la componente en de debe ser cero tenemos
Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado