De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un aro de masa $m$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa (eje fijo $O X 1$ ). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa $m$ y longitud $2 R$ (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje $O Y 1$ y el raíl es $4 R$ . La gravedad actúa como se indica en la figura. Una fuerza $\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1$ actúa sobre el extremo $B$ de la barra.

Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a $O$ .
Demuestra que existen dos ligaduras de la forma $a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.$ . Encuentra los valores de los coeficientes $a, b, c, d$ .
Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de $φ$ y $\dot{\phi}$ .
Calcula la energía cinética total del sistema.
Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

2 Solución

2.1 Datos que se pueden deducir del enunciado

Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje $Z$ .
El aro rueda sin deslizar: $\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C$ .
La barra está articulada en el cento del aro: $\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A$ .
El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo $O X 1$ : $\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1$ .
El punto $B$ de la barra se mueve en un raíl vertical: $\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1$ .

2.2 Posiciones de los C.I.R.

De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.

$I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.$

La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:

Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, $\vec{v}^{\,B}_{01}$ es paralela al eje $O Y 1$ . Trazando por $B$ una perpendicular a $\vec{v}^{\,B}_{01}$ , encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
Como $A$ es $I 20$ , se tiene $\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}$ que es paralela a $O X 1$ . Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos $A$ y $B$ encontramos $I 01$ en el punto de corte.

2.3 Ligaduras cinemáticas

Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas ${s,θ,φ}$

$\begin{array}{ll} \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\ \vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1. \end{array}$

Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro

$\left. \begin{array}{l} \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\ \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k}, \end{array} \right| \Longrightarrow \dot{\theta} = -\dot{s}/R.$

La otra ligadura es que $\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1$ . Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos

$\begin{array}{ll} \vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} = (\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1. \\ & \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

Como la componente en $\vec{\imath}_1$ de $\vec{v}^{\,B}_{01}$ debe ser cero tenemos

$\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.$

Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado

$\left. \begin{array}{l} \dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\ \dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0. \end{array} \right| \Longrightarrow a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.$

2.4 Reducciones cinemáticas en los centros de masas

Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad $φ$ . Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro

$\vec{\omega}_{21} = -2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.$

Para la barra tenemos

$\begin{array}{ll} \vec{v}^{\,D}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AD} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1. \\ & \overrightarrow{AD} = R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

Y la reducción en el centro de masas de la barra es

$\vec{\omega}_{01} = -\dot{\phi}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,D}_{01} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.$

2.5 Energía cinética

La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos

$T^{'2'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_A|\vec{\omega}_{21}|^2.$

El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es

$I A = m R 2 .$

Entonces

$T^{'2'} = 4mR^2\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\phi.$

Procedemos de forma similar para la barra

$T^{'0'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,D}_{01}|^2 + \dfrac{1}{2}I_D|\vec{\omega}_{01}|^2.$

Esta expresión no se puede aplicar en el punto $A$ porque es un punto móvil. El momento de inercia es

$I_D = \dfrac{1}{12}m(2R)^2 = \dfrac{1}{3}mR^2.$

La energía cinética de la barra es

$T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2.$

Y la energía cinética total es

$T = T^{'2'} + T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2\,(1+ 2\,\,\mathrm{sen}^2\,\phi).$

2.6 Diagrama de fuerzas

Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

Sólido "2"

$\begin{array}{lr} \vec{P}_{2} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\ \vec{A}_{20} = A_x\,\vec{\imath}_1 + A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\ \vec{C}_{21} = C\,\vec{\jmath}_1, & (C)\\ \vec{C}^{\,R}_{21} = C_R\,\vec{\jmath}_1. & (C) \end{array}$

El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza $\vec{A}_{20}$ proviene del vínculo $\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}$ . Las fuerzas en $C$ garantizan que se cumpla el vínculo $\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}$ . Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

Sólido "0"

$\begin{array}{lr} \vec{P}_{0} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\ \vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1,& (B)\\ \vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A_x\,\vec{\imath}_1 - A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\ \vec{B}_{01} = B\,\vec{\imath}_1, & (B) \end{array}$

El peso y $\vec{F}$ son fuerzas aplicadas. La fuerza en $A$ es vincular y se relaciona con $\vec{A}_{20}$ por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en $B$ tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de $B$ está restringido (prohibido en este caso)

2.7 Teoremas fundamentales

2.7.1 T.C.M.

Sólido "2"

Tenemos

$\dot{\vec{C}}^{'2'} = \vec{P}_2 + \vec{A}_{20} + \vec{C}_{21} + \vec{C}^{\,R}_{21}.$

La cantidad de movimiento es

$\vec{C}^{'2'} = m\vec{v}^{\,A}_{21} = 2mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.$

Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así

$\dot{\vec{C}}^{'2'} = m\vec{a}^{\,A}_{21} = ma^A_x\vec{\imath}_1.$

No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones

$\begin{array}{lr} ma^A_x = A_x + C_R, & (1)\\ 0 = -mg + A_y + C. & (2) \end{array}$

Sólido "0"

Tenemos

$\dot{\vec{C}}^{'0'} = \vec{P}_0 + \vec{A}_{02} + \vec{B}_{01} + \vec{F}.$

La cantidad de movimiento es

$\vec{C}^{'0'} = m\vec{v}^{\,D}_{21} = mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - mR\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.$

Podemos escribir la derivada temporal así

$\dot{\vec{C}}^{'0'} = m\vec{a}^{\,D}_{21} = ma^D_x\vec{\imath}_1 + ma^D_y\vec{\jmath}_1.$

Obtenemos de nuevo dos ecuaciones

$\begin{array}{lr} ma^D_x = -A_x + B, & (3)\\ ma^D_y = -mg - A_y + F_0. & (4) \end{array}$

2.7.2 T.M.C.

Sólido 2

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo

$\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = \vec{M}^{'2'}_A = \overrightarrow{AC}\times\vec{C}^{\,R}_{21}$

Las otra fuerzas no crean momento respecto a $A$ . El momento cinético y su derivada temporal son

$\vec{L}^{'2'}_A = I_A\vec{\omega}_{21}, \qquad \dot{\vec{L}}^{'2'}_A = I_A\vec{\alpha}_{21} = I_A\alpha_{21}\,\vec{k}.$

El producto vectorial es

$\overrightarrow{CA}\times\vec{C}^{\,R}_{21} = (-R\,\vec{\jmath}_1)\times(C_R\,\vec{\imath}_1) = C_RR\,\vec{k}.$

La ecuación es

$I_A\alpha_{21} = C_RR. \qquad (5)$

Recordemos que, aunque no se pide en el problema, $α 21$ se puede expresar en función de $φ$ . Concretamente

$\vec{\alpha}_{21} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -\dfrac{1}{2}mR\,(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi - \dot{\phi}^2\cos\phi)\,\vec{k}.$

Sólido 0

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo

$\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = \vec{M}^{'0'}_D = \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} + \overrightarrow{DB}\times(\vec{F} + \vec{B}_{01}).$

El peso no crea momento respecto a $D$ . El momento cinético y su derivada temporal son

$\vec{L}^{'0'}_D = I_D\vec{\omega}_{01}, \qquad \dot{\vec{L}}^{'0'}_D = I_D\vec{\alpha}_{01} = I_D\alpha_{01}\,\vec{k}.$

Los productos vectoriales son

$\begin{array}{l} \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} = -2R\,(A_y\cos\phi + A_x\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k},\\ \overrightarrow{DB}\times(\vec{B}_{01}+\vec{F}) = 2R\,(F_0\cos\phi + B\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k} \end{array}$

La ecuación es

$I_D\alpha_{01} = 2R\,((F_0-A_y)\cos\phi + (B-A_x)\,\mathrm{sen}\,\phi) \qquad (6)$

De nuevo, $α 01$ se puede expresar en función de $φ$

$\vec{\alpha}_{01} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -I_D\ddot{\phi}\,\vec{k}.$

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Datos que se pueden deducir del enunciado

2.2 Posiciones de los C.I.R.

2.3 Ligaduras cinemáticas

2.4 Reducciones cinemáticas en los centros de masas

2.5 Energía cinética

2.6 Diagrama de fuerzas

2.7 Teoremas fundamentales

2.7.1 T.C.M.

2.7.2 T.M.C.

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