Partícula en movimiento elíptico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad y aceleración
3 Centros de curvatura
- 3.1 En t = 0
- 3.2 En t = π/20
4 Cálculo de magnitudes
5 Ley de Hooke

1 Enunciado

Una partícula de masa $M=0.1\,\mathrm{kg}$ describe el movimiento elíptico (en el SI)

$\vec{r}(t)=0.5\cos(10t)\vec{\imath}+0.4\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\jmath}$

Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula en todo instante.
Determine la posición del centro de curvatura de la partícula en $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=\pi/20\,\mathrm{s}$ .
Halle la cantidad de movimiento, el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas y la energía cinética para todo instante. ¿Es constante alguna de estas magnitudes?
Demuestre que la partícula obedece la ley de Hooke (con longitud natural nula). ¿Cuánto vale la constante del resorte? ¿Cuánto vale la energía mecánica de la partícula en cada instante? ¿Es constante esta magnitud?

2 Velocidad y aceleración

En lo que sigue todas las magnitudes se consideran en las unidades fundamentales del SI.

Hallamos la velocidad derivando respecto al tiempo el vector de posición

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-5.0\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\imath}+4.0\cos(10t)\vec{\jmath}$

y la aceleración como la derivada temporal de la velocidad

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-50\cos(10t)\vec{\imath}-40\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\jmath}$

3 Centros de curvatura

El centro de curvatura se calcula como

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}$

siendo $R$ el radio de curvatura y $\vec{N}$ el vector normal a la trayectoria.

3.1 En t = 0

En el instante inicial, las magnitudes cinemáticas valen

$(t=0)\qquad\qquad \vec{r}=0.5\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=4.0\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-50\vec{\imath}$

Esta aceleración es puramente normal a la velocidad, por lo que el vector normal es

$\vec{a}_n=\vec{a}\qquad\qquad \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=-\vec{\imath}$

y el radio de curvatura vale

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16}{50}=0.32$

lo que nos da el centro de curvatura

$\vec{r}_c=0.5\vec{\imath}-0.32\,\vec{\imath}=0.18\,\vec{\imath}$

3.2 En t = π/20

Cuando $t = π / 20$ , $10 t = π / 2$ y las expresiones se simplifican a

$\left(t=\frac{\pi}{20}\right)\qquad\qquad \vec{r}=0.4\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=-5.0\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=-40\vec{\jmath}$

De nuevo la aceleración es puramente normal a la velocidad, por lo que el vector normal es

$\vec{a}_n=\vec{a}\qquad\qquad \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=-\vec{\jmath}$

y el radio de curvatura vale ahora

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{25}{40}=0.625$

lo que nos da el centro de curvatura

$\vec{r}_c=0.4\vec{\jmath}-0.625\,\vec{\jmath}=-0.225\,\vec{\jmath}$

4 Cálculo de magnitudes

4.1 Cantidad de movimiento

Es el producto de la masa por la velocidad

$\vec{p}=m\vec{v}=-0.5\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\imath}+0.4\cos(10t)\vec{\jmath}$

que obviamente no es una constante de movimiento.

4.2 Momento cinético

Es el producto vectorial de la posición por la cantidad de movimiento

$\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.5\cos(10 t) & 0.4\,\mathrm{sen}(10t) & 0 \\ -0.5\,\mathrm{sen}(10t) & 0.4\cos(10t) & 0 \end{matrix}\right| = 0.2\left(\cos^2(10 t)+\mathrm{sen}^2(10 t)\right)\vec{k} = 0.2\vec{k}$

que sí es una constante de movimiento. Esto se debe a que la fuerza que actúa sobre la partícula es una fuerza central.

4.3 Energía cinética

Por último, la energía cinética es igual a

$K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2= \frac{0.1}{2}\left(25\,\mathrm{sen}^2(10 t)+16\cos^2(10 t)\right) = 1.25\,\mathrm{sen}^2(10 t)+ 0.80\cos^2(10 t)= 0.80 + 0.45\,\mathrm{sen}^2(10 t)$

Esta cantidad tampoco es una constante de movimiento.

5 Ley de Hooke

La ley de Hooke, para longitud natural nula, es de la forma

$\vec{F}=-k\vec{r}$

En nuestro caso, la fuerza que actúa sobre la partícula, es

$\vec{F}=m\vec{a}=-5.0\cos(10t)\vec{\imath}-4.0\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\jmath}$

Esta fuerza es efectivamente proporcional al vector de posición

$\vec{r}(t)=0.5\cos(10t)\vec{\imath}+0.4\,\mathrm{sen}(10t)\vec{\jmath}$

siendo la constante elástica, como se comprueba fácilmente,

$k= 10\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$

Esta cantidad cumple $k = m ω 2$ , como cabe esperar de un oscilador armónico, pero no es preciso emplear este dato.

La energía potencial asociada a esta fuerza tiene la expresión

$U=\frac{1}{2}k|\vec{r}|^2$

que, como función del tiempo queda

$U=\frac{10}{2}\left(0.25\cos^2(10 t)+0.16\,\mathrm{sen}^2(10 t)\right) = 1.25\cos^2(10 t)+ 0.80\,\mathrm{sen}^2(10 t)= 0.80 + 0.45\,\mathrm{cos}^2(10 t)$

Esta cantidad tampoco es una constante.

No obstante, la energía mecánica, suma de la cinética y la potencial

$E=K + U = 0.80 + 0.45\,\mathrm{sen}^2(10 t)+ 0.80 + 0.45\,\mathrm{cos}^2(10 t)= 1.60 + 0.45 = 2.05\,\mathrm{J}$

sí es una constante, como corresponde a que la fuerza elástica sea una fuerza conservativa.

Partícula en movimiento elíptico

De Laplace

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1 Enunciado

2 Velocidad y aceleración

3 Centros de curvatura

3.1 En t = 0

3.2 En t = π/20

4 Cálculo de magnitudes

4.1 Cantidad de movimiento

4.2 Momento cinético

4.3 Energía cinética

5 Ley de Hooke

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