Líneas y superficies coordenadas

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Líneas coordenadas
3 Superﬁcies coordenadas
4 Enlaces

1 Introducción

¿Por qué se deﬁnen diferentes sistemas de coordenadas? ¿Por qué no basta con las coordenadas cartesianas? La respuesta, evidente a partir de ejemplos sencillos, es que unos sistemas son más adecuados que otros dependiendo del problema a resolver. Simplifican los cálculos y permiten una interpretación sencilla de los resultados obtenidos.

Ahora bien, ¿cuál es el factor principal para elegir un sistema u otro? A la vista de un problema concreto, ¿cómo sabemos si debemos resolverlo empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas?

La respuesta es que la elección depende de la geometría del sistema. En particular, son las líneas y superﬁcies que aparecen las que nos inclinan por una elección concreta (que a veces puede resultar infructuosa).

Por ejemplo, si tenemos una distribución de carga en forma de esfera, parece natural elegir coordenadas esféricas. Si tenemos un hilo rectilíneo cargado, tanto cartesianas como cilíndricas parecen adecuadas. Pero, ¿qué hacemos si tenemos una superﬁcie cónica? Para poder decidir, es necesario visualizar correctamente los diferentes sistemas de coordenadas. Esto se consigue con ayuda de las líneas y superﬁcies coordenadas.

2 Líneas coordenadas

Un punto $P\,$ del espacio viene dado por tres valores $(q_{10}, q_{20}, q_{30})\,$ . Si, partiendo de este punto, modiﬁcamos el valor de la coordenada $q_1\,$ , manteniendo ﬁjas las otras dos, obtenemos una curva (función de $q_1\,$ ) conocida como línea coordenada $q_1\,$ . Del mismo modo, si variamos $q_2\,$ o $q_3\,$ , manteniendo en cada caso ﬁjas las otras dos coordenadas, obtenemos otras dos líneas coordenadas ( $q_2\,$ y $q_3\,$ , respectivamente).

De aquí se deduce que, por cada punto $P\,$ del espacio pasan tres líneas coordenadas.

3 Superﬁcies coordenadas

Si dado un punto $P\,$ identiﬁcado por las coordenadas $(q_{10}, q_{20}, q_{30})\,$ variamos dos de ellas, $q_1\,$ y $q_2\,$ manteniendo ﬁja la tercera, nos movemos sobre una superﬁcie. Ésta se denomina superﬁcie coordenada $q_3 = \mathrm{cte}\,$ . Análogamente se tienen las superﬁcies coordenadas $q_1 = \mathrm{cte}\,$ y $q_2 = \mathrm{cte}\,$ .