Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2012 (F1 GIA)
De Laplace
1 Enunciado
Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de referencia cartesiano son:![O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}](/wiki/images/math/1/f/a/1fa58a826e6ea132f8cd3b8e7eb79808.png)
medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores
![\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.](/wiki/images/math/9/9/3/99346f52ba648ccf9a5195edb3aa4570.png)
y calcule el volumen del paralelepípedo.
2 Solución
Para resolver este sencillo ejercicio basta con aplicar las definiciones y propiedades de los dos operaciones que dotan de estructura de espacio vectorial al conjunto de los segmentos orientados en , ordenados como vectores libres. Como se sabe, dichas operaciones son la suma de vectores (según la ley del paralelogramo), y el producto de un vector por un escalar (en general, un número real).
Definamos los vectores ,
y
, que tienen la dirección, el sentido y el módulo de los segmentos orientados
,
y
:
![\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(\sqrt{3}+1)\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OB}=\vec{b}=\vec{\imath}+\vec{k}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OC}=\vec{c}=\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}+2\!\ \vec{\jmath}+\vec{k}](/wiki/images/math/d/9/b/d9bbdc66cd479d967d25a664b1d149ea.png)
Obsérvese que, según la definición geométrica de la suma de vectores, se verificarán las siguientes relaciones:
![\begin{array}{l} \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}\\
\vec{b}=\vec{u}+\vec{w}\\
\vec{c}=\vec{v}+\vec{w}\end{array}](/wiki/images/math/c/d/7/cd7ea2d086690fc1b2a0a5144e220aa9.png)
Por tanto, si al vector le sumamos el opuesto del vector
, se tendrá...
![\vec{a}+(-\vec{c})=\vec{u}+\vec{v}+(-\vec{v}-\vec{w})=\vec{u}-\vec{w}](/wiki/images/math/e/3/9/e39f1088a40e3a5e980d7af2f3c4a0c6.png)
Y si al vector resultante se le suma el vector , se obtiene:
![\vec{a}-\vec{c}+\vec{b}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{u}+\vec{w}=2\!\ \vec{u}](/wiki/images/math/5/5/9/5593c50bcd33406c2ed27c8a8c879c25.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![\vec{u}=\frac{1}{2}\ (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\!\ )=\vec{\imath}-\vec{\jmath}](/wiki/images/math/0/6/c/06c65a877f4c5b265f8285c22c7a9724.png)
Utilizando la primera relación que introdujimos anteriormente, podemos determinar el vector sumándole a
el opuesto de
:
![\vec{v}=\vec{a}+(-\vec{u})](/wiki/images/math/4/4/b/44b54f8a4be9f48b714c44f803dae1b4.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![\vec{v}=\frac{1}{2}\ (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\!\ )=\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}+\vec{\jmath}](/wiki/images/math/7/1/3/7136671b7dbcd0f9f4074ea448145de1.png)
Finalmente, el vector lo podemos obtener de la segunda relación:
![\vec{w}=\vec{b}+(-\vec{u})](/wiki/images/math/b/7/1/b71cd5a7a0a479780777fd0bd0ce2378.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![\vec{w}=\frac{1}{2}\ (-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\!\ )=\vec{\jmath}+\vec{k}](/wiki/images/math/8/8/e/88e8d90b7c159444ec67d0774249bfa1.png)
Para calcular el valor del volumen del paralelepípedo, tenemos en cuenta que los vectores calculados, ,
y
, se corresponden con tres segmentos orientados formados a partir de tres aristas adyacentes del paralelepípedo. En consecuencia, el valor absoluto del producto mixto de aquellos vectores es igual al volumen V que se demanda:
![V=|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|](/wiki/images/math/2/c/5/2c5b4a70369a94a8d54c17be4558d9f2.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![V=\left|\begin{array}{ccc}0& 1 & 1\\ 1& -1& 0\\
\sqrt{3}& 1& 0 \end{array}\right|=1+\sqrt{3}](/wiki/images/math/c/8/d/c8d708b1740d645e7577d77fcc3fb384.png)