Velocidad cuadrática con la posición (GIOI)

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Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto $v = - k x 2$ . Su posición inicial es $x (t = 0) = x 0$

Por homogeneidad dimensional

$1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[k]\left(1\,\mathrm{m}\right)^2 \qquad\Rightarrow\qquad [k]=\frac{1}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}$

Derivamos respecto al tiempo la velocidad, mediante la regla de la cadena

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(-kx^2)=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad

$a=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2kx(-kx^2) = 2k^2 x^3$

La velocidad es el cociente entre un desplazamiento diferencial y el intervalo que tarda en recorrerse

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v=-kx^2$

Esto quiere decir que el tiempo necesario para recorrer dx es, despejando,

$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{v}=\frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}$

Sumando (es decir, integrando) todos los diferenciales obtenemos el tiempo necesario para llegar a una cierta posición

$\int_0^t \mathrm{d}t=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}$

lo que da

$t = \frac{1}{kx}-\frac{1}{kx_0}$

Despejamos de aquí x y da

$\frac{1}{kx}=t+\frac{1}{kx_0}=\frac{1+kx_0 t}{kx_0}\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{x_0}{1+kx_0 t}$