De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Reducciones cinemáticas
- 2.2 Ecuación para ψ

1 Enunciado

El extremo $A$ de una barra de longitud $L$ desliza sobre el eje $O Z 1$ . La barra gira respecto al eje $O Z 1$ , de modo que está siempre contenida en el plano $O X 0 Z 0$ y el punto $B$ permanece siempre en el eje $O X 0$ . El plano $O X 0 Z 0$ realiza una rotación de eje permanente $O Z 0$ . En el instante inicial el punto $A$ coincidía con $O$ y el punto $B$ estaba sobre el eje $O X 1$ .

Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas. El resultado debe quedar en función de $z$ , $ψ$ , $θ$ y sus derivadas temporales.
Supongamos que la velocidad del punto $A$ respecto al eje es constante y de magnitud $v 0$ . Encuentra la ecuación diferencial que determina la función $ψ(t)$ .

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

Este movimiento es la rotación de eje permanente del plano $O X 0 Z 0$ alrededor del eje $O Z 0$ . Todos los puntos del eje están en reposo en este movimiento, en particular el punto $A$ . Entonces una posible reducción cinemática es

$\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_{0,1}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{0}.$

El eje del movimiento es $\Delta^{01}_{EPR} \equiv OZ_0$ . Es una rotación permanente, porque el eje no cambia respecto al sólido "1". La derivada de la reducción cinemática es

$\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \ddot{\theta}\,\vec{k}_{0,1}, \qquad \vec{a}^{\,A}_{01} =\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}.$

Hemos usado que $\vec{k}_0 = \vec{k}_1$ , y por tanto es constante visto desde el sólido "1".

2.1.2 Movimiento {20}

El punto $A$ de la barra (sólido "2"), se mueve respecto al eje $O Z 0$ , es decir, respecto al sólido "0". Entonces

$\vec{v}^{\,A}_{20} = \dot{z}\,\vec{k}_{0,1}$

Por otro lado, este movimiento es una rotación plana de la barra en el plano $O X 0 Z 0$ . Entonces $\vec{\omega}_{20}$ es perpendicular a este plano. Observando el dibujo vemos que

$\vec{\omega}_{20} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0$

Cuando $ψ$ aumenta, se tiene $\dot{\psi}>0$ y esta expresión da el sentido correcto del vector rotación.

Este movimiento es una rotación pura, pues $\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{v}^{\,A}_{20} = 0$ . La aceleración angular es

$\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0$

Hemos usado que el vector $\vec{\omega}_{20}$ está expresado en la base del sólido "0", por lo que el vector $\vec{\jmath}_0$ es constante en esta derivada. Para la aceleración del punto $A$ tenemos

$\vec{a}^{\,A}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \ddot{z}\,\vec{k}_0$

2.1.3 Movimiento {21}

Utilizamos la composición

${21} = {20} + {01}$

Para el vector rotación

$\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\theta}\,\vec{k}_0$

Para la velocidad en $A$

$\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{z}\,\vec{k}_0$

El vector aceleración angular

$\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\dot{\psi}\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \ddot{\theta}\,\vec{k}_0$

Y la aceleración en $A$

$\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \ddot{z}\vec{k}_0$

Este movimiento es helicoidal tangente, pues $\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}$ y $\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\,A}_{21}\neq 0$ .

2.2 Ecuación para $ψ$

En estas condiciones tenemos

$\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{k}_0$

El punto $B$ está obligado a moverse en el plano $O X 1 Y 1$ . Entonces su velocidad $\vec{v}^{\,B}_{21}$ no tiene componente en $Z 0$ . Usando el Teorema de Chasles

$\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}$

El vector $\overrightarrow{AB}$ es

$\overrightarrow{AB} = L\cos\psi\,\vec{\imath}_0 - L\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{k}_0$

Por tanto

$\vec{v}^{\,B}_{21} = -L\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{\imath}_0 + L\dot{\theta}\cos\psi\,\vec{\jmath}_0 + (v_0-L\dot{\psi}\cos\psi)\,\vec{k}_0$

Como la componente en $Z 0$ tiene que ser nula, obtenemos

$\dot{\psi} = \dfrac{v_0}{L\cos\psi}$

Varilla rotando con extremo deslizando sobre un eje

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

2.1.2 Movimiento {20}

2.1.3 Movimiento {21}

2.2 Ecuación para $ψ$

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES

Varilla rotando con extremo deslizando sobre un eje

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

2.1.2 Movimiento {20}

2.1.3 Movimiento {21}

2.2 Ecuación para ψ

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES

2.2 Ecuación para $ψ$