Trabajo máximo en sistema de dos gases

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura final
3 Trabajo máximo

1 Enunciado

Un tanque de volumen constante contiene 20 kg de nitrógeno a 1000 K y un cilindro a presión constante contiene 10 kg de argón a 300K. Una máquina térmica situada entre el tanque y el cilindro, la cual extrae calor del tanque, realiza un cierto trabajo y expulsa calor al cilindro. Calcule el máximo trabajo que se puede realizar y las temperaturas finales del nitrógeno y el argón en ese caso.

2 Temperatura final

El trabajo máximo se consigue cuando todos los procesos mecánicos o térmicos son reversibles, esto es, cuando no se produce entropía.

La máquina térmica situada entre los dos gases funcionará hasta que se iguale la temperatura de los dos gases sin producción de entropía.

La variación de entropía del foco caliente, teniendo en cuenta que está a volumen constante, será

$\Delta S_1 =n_1 c_v\ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)$

y la del foco frío, que se halla a presión constante

$\Delta S_2 =n_2 c_p\ln\left(\frac{T_f}{T_2}\right)$

Puesto que la entropía total no cambia en el proceso óptimo

$0 = \Delta S_1+\Delta S_2 = n_1 c_v\ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)+n_2 c_p\ln\left(\frac{T_f}{T_2}\right)$

Aplicamos las propiedades de los logaritmos y queda

$(n_1c_v+n_2c_p)\ln(T_f)=n_1c_v\ln(T_1)+n_2c_p\ln(T_2)\qquad\Rightarrow\qquad \ln(T_f)=\frac{n_1c_v\ln(T_1)+n_2c_p\ln(T_2)}{n_1c_v+n_2c_p}$

En un proceso normal de mezcla adiabática, la temperatura final habría salido como una expresión similar, pero sin los logaritmos.

En nuestro caso, tenemos los valores de los parámetros siguientes:

Para el nitrógeno, el número de moles es

$n_1=\frac{20000\,\mathrm{g}}{28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}}=714\,\mathrm{mol}$

la capacidad calorífica molar a volumen constante es la de un gas diatómico

$c_v=\frac{5}{2}R=20.8\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}$

y la temperatura inicial

$T_1=1000\,\mathrm{K}\qquad\rightarrow\qquad \ln(T_1)=6.908$

Para el argón, tenemos el número de moles

$n_2=\frac{10000\,\mathrm{g}}{40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}}=250\,\mathrm{mol}$

Las capacidad calorífica molar a presión constante es la de un gas monoatómico

$c_v=\frac{5}{2}R=20.8\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}\qquad\qquad c_p=\frac{5}{2}R=20.8\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}$

es decir, en este caso la

c v

de un gas coincide con la

c p

del otro. Por último, la temperatura es

$T_2 = 300\,\mathrm{K}\qquad\Rightarrow\qquad \ln(T_2)=5.704$

Esto nos da, para el logaritmo de la temperatura final

$\ln(T_f)=\frac{714\times 6.908+250\times 5.704}{714+250}=6.596$

y para la temperatura

$T_f = 732\,\mathrm{K}$

Si simplemente hubiéramos puesto en contacto los dos recipientes, la temperatura final habría sido superior, 819K.

3 Trabajo máximo

El trabajo máximo que podemos obtener es la diferencia entre el calor que extaremos del foco caliente y el que vertemos al foco frío en procesos reversibles