No Boletín - Dos móviles sobre el eje OX acercándose (Ex.Oct/14)
De Laplace
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1 Enunciado
Un móvil A recorre el eje OX con una velocidad constante , hallándose en el punto
en el instante inicial
. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto
, comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:
![\vec{a}_B(t)=C\, t\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/5/7/6/5768b6bd144a04ab2449d72d700e8548.png)
donde es una constante de valor igual a
.
- ¿Cuánto tiempo transcurre hasta el instante en el que la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A?
- ¿Qué distancia hay entre los móviles A y B en el instante al que se refiere la pregunta anterior?
2 Posiciones y velocidades en función del tiempo
Comenzaremos estudiando la cinemática del móvil B.
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
![\vec{v}_B=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}_B=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/e/a/4/ea4e0676df3877c8d4eddb80d9b9dc5f.png)
Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
![\vec{r}_B(0)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}_B(0)=\vec{0}](/wiki/images/math/d/5/d/d5d465b60139b2b476cc7f024cbc84e7.png)
Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico :
![\begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}_B=C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}_B(0)}^{\vec{v}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_B=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} \\ \\
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_B=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_B(0)}^{\vec{r}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_B=\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}\end{array}](/wiki/images/math/6/9/8/6988999db0b2f819659a0e28fe133844.png)
La cinemática del móvil A es más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniforme:
![\vec{v}_A=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-v_A\,\vec{\imath}=-\,25\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}](/wiki/images/math/e/3/b/e3b821b2fdaaea6332b64f182706835f.png)
donde hemos llamado a la celeridad constante del móvil A (cuyo valor es
).
Conocemos también la condición inicial de posición:
![\vec{r}_A(0)=2000\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}](/wiki/images/math/4/b/f/4bf03d3ef440ad0d22cedc6531a36c3a.png)
La posición del móvil A en función del tiempo se obtiene integrando su velocidad entre el instante inicial y el instante genérico :
![\begin{array}{lllllll}
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-v_A\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_A(0)}^{\vec{r}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_A(t)=\vec{r}_A(0)-v_A t\,\,\vec{\imath}\end{array}](/wiki/images/math/f/7/f/f7fb2bcbcff0870572d32654149e9453.png)
3 Instante en el que se igualan las celeridades de los dos móviles
Conocidas las velocidades de A y B en función del tiempo:
![\vec{v}_A(t)=-v_A\,\vec{\imath}\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/7/a/b/7abb748513203cca74db834b8d13cd17.png)
es fácil determinar en qué instante () la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A:
![|\,\vec{v}_B(t^*)\,|=|\,\vec{v}_A(t^*)\,|\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{C(t^*)^2}{2}=v_A\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2\,v_A}{C}}](/wiki/images/math/8/2/4/8242939f68bbf47504bf27c0a13286c4.png)
y sustituyendo los datos numéricos:
![t^*=\sqrt{\frac{2\,\mathrm{x}\,25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\,\mathrm{x}\,10^{-2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{3}}}=50\,\mathrm{s}](/wiki/images/math/3/f/1/3f1979edf3a09be7861a73d7539eb65d.png)
4 Distancia entre ambos móviles en dicho instante
Conocidas las posiciones de A y B en función del tiempo:
![\vec{r}_A(t)=\vec{r}_A(0)-v_A t\,\,\vec{\imath}\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/4/c/7/4c798cefb7fccb4338c2b2ed3b39455c.png)
es fácil determinar la distancia existente entre ambos móviles en el instante
:
![d=|\,\vec{r}_A(t^*)-\vec{r}_B(t^*)\,|=\left|\,\vec{r}_A(0)-v_A t^*\,\,\vec{\imath}-\frac{C(t^*)^3}{6}\,\vec{\imath}\,\,\right|](/wiki/images/math/8/4/a/84a57589513c75b32e5e1505bd2d505b.png)
y sustituyendo los datos numéricos:
![d=\left|\,\left[\,2000\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\,\,\mathrm{x}\,\, 50\,\mathrm{s}-\frac{2\,\mathrm{x}\,10^{-2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{3}\,\,\mathrm{x}\,\,(50\,\mathrm{s})^3}{6}\,\right]\vec{\imath}\,\,\right|=333.3\,\mathrm{m}](/wiki/images/math/b/9/4/b94787514e2159dc226b83d69aced467.png)