Fuerza sobre un dipolo GIA

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un dipolo eléctrico $\vec{p}$ situado a una distancia $x$ de un hilo infinito cargado uniformemente con densidad de carga uniforme $λ 0$ . Admitiendo que el dipolo está orientado en la dirección del campo creado por el hilo, encuentra la expresión de la fuerza que el hilo crea sobre el dipolo.

2 Solución

El campo creado por un hilo infinito con una densidad lineal de carga uniforme $λ 0$ es

$\vec{E}(\vec{r}) = \dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{u}_{\rho}$

siendo $ρ$ la distancia desde el punto al hilo y $\vec{u}_{\rho}$ un vector unitario que se aleja del hilo en cada instante.

Elegimos los ejes de modo que el eje $Z$ coincida con el hilo cargado y el eje $X$ pase por el punto donde está el dipolo y su dirección coincida con su orientación. La posición del dipolo viene dada por el vector

$\vec{r}_{dip} = x\,\vec{\imath}$

Y el campo en el eje $X$ es

$\vec{E} = \dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{x}\,\vec{u}_{\imath}$

Con nuestra elección de ejes la distancia desde un punto del eje $X$ al hilo es $x$ , y el vector $\vec{u}_{\rho}$ en los puntos del eje coincide con el vector $\vec{\imath}$

Un dipolo está compuesto por dos cargas puntuales de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia $d$ pequeña. El enunciado nos dice que el dipolo está orientado en la dirección y sentido del campo. Por tanto, las posiciones de las cargas negativa y positiva que forman el dipolo son

$\vec{r}_{-} = \left(x-\dfrac{d}{2}\right)\,\vec{\imath} \qquad\qquad \vec{r}_{+} = \left(x+\dfrac{d}{2}\right)\,\vec{\imath}$

La fuerza que el campo ejerce sobre el dipolo es la suma de la fuerza sobre cada una de las cargas que lo componen.

$\vec{F} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- = q\,\vec{E}(\vec{r}_+) - q\,\vec{E}(\vec{r}_-)$

Sustituyendo los vectores de posición en la expresión del campo tenemos

$\vec{F} = \vec{\imath}\,\dfrac{\lambda_0q}{2\pi\varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{x+d/2} - \dfrac{1}{x-d/2}\right)$

Usamos la condición de que $d$ es muy pequeña. Podemos escribir la fuerza como

$\vec{F} = \vec{\imath}\,\dfrac{\lambda_0q}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{x}\, \left(\dfrac{1}{1+d/2x} - \dfrac{1}{1-d/2x}\right)$

Utilizamos ahora el desarrollo de Taylor

$(1+\delta)^n \simeq 1 + n\,\delta \qquad\qquad \mathrm{si} \qquad \delta\ll1$

En el primer paréntesis se tiene $δ = 2 d / x$ , y en el segundo $δ = - 2 d / x$ . En ambos casos $n = - 1$ . La fuerza se puede aproximar por

$\vec{F} \simeq \vec{\imath}\,\dfrac{\lambda_0q}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{x}\, \left[ \left(1-\dfrac{d}{2x}\right) - \left(1+\dfrac{d}{2x}\right)\right] =-\dfrac{\lambda_0qd}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{x^2}\,\vec{\imath}$

Por tanto, la fuerza puede aproximarse por

$\vec{F} \simeq -\dfrac{\lambda_0p}{2\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{x^2}\,\vec{\imath}$

siendo $p = q d$ el momento dipolar del dipolo. Suponiendo que $λ 0$ es positiva, la fuerza es atractiva, lo cual tiene sentido pues la carga negativa está más cerca del hilo.

Aplicando el Principio de Acción y Reacción, la fuerza que el dipolo ejerce sobre el hilo es igual a esta con el signo cambiado.

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