Dos masas unidas por un péndulo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones de movimiento
3 Constantes de movimiento
- 3.1 Componente de la cantidad de movimiento
- 3.2 Energía mecánica
4 Pequeñas oscilaciones
5 Paso por la vertical

1 Enunciado

Dos masas de valor $m 1$ y $m 2$ se encuentran unidas por una varilla rígida de longitud $b$ y masa despreciable. $m 1$ puede deslizarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal, mientras que $m 2$ cuelga de la varilla pudiendo oscilar y moverse en el plano OXZ. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.

Empleando los procedimientos de la dinámica vectorial (es decir, considerando todas las fuerzas que actúan sobre cada masa), determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas, en función del ángulo con la vertical θ y de la posición x de la masa $m 1$ .
Determine dos constantes de movimiento en este problema. ¿Qué representan físicamente?
Suponga que estando el péndulo vertical se aguanta la masa superior y la inferior se separa de la vertical un pequeño ángulo θ₀.
1. ¿A qué se reducen las ecuaciones de movimiento en ese límite θ≪1?
2. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿A qué tiende en los casos m_1→∞ y m_1→m_2?
Suponga que se sube la masa 2 hasta que el péndulo queda horizontal. Estando las dos masas en reposo, se suelta m₂. Para el momento en que el péndulo pasa por la posición vertical
1. ¿Cuál es la rapidez de $m 2$ ? ¿Y de $m 1$ ?
2. ¿Cuánto vale la tensión de la barra?
3. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción normal del plano que sostiene a $m 1$ ?

2 Ecuaciones de movimiento

En lo que sigue, dada la frecuencia con que aparecerán las funciones trigonométricas, emplearemos las abreviaturas

$C=\cos(\theta)\qquad\qquad S=\mathrm{sen}(\theta)$

Se trata de determinar las ecuaciones de movimiento para las dos partículas.

Este sistema posee dos grados de libertad, ya que está sometido a 4 vínculos:

El movimiento es plano y ambas partículas se mueven en el plano OXY

$z_1 = 0 \qquad\qquad z_2=0$

La partícula 1 está obligada a moverse sobre una recta horziontal

$y_1=0\,$

Las partículas están unidas por una barra rígida

$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=b^2\,$

En este caso, todos los vínculos son geométricos, lo que nos permite reducir el sistema a solo dos variables. Empleando las indicadas en el enunciado queda, para la partícula 1

$x_1 = x\qquad\qquad y_1=0$

y para la 2

$x_2=x +b\,S\qquad\qquad y_2 = -b\,C$

Las componentes de la velocidad y de la aceleración de la primera valen

$\dot{x}_1=\dot{x} \qquad \ddot{x}_1=\ddot{x} \qquad\ddot{y}_1=0\qquad\ddot{y}_1=0$

y las de la segunda

$\dot{x}_2=\dot{x}+b\dot{\theta}C \qquad \ddot{x}_2=\ddot{x}+b\ddot{\theta}C-b\dot{\theta}^2S \qquad\ddot{y}_2=b\dot{\theta}S\qquad\ddot{y}_2=b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C$

2.1 Para la partícula 1

La partícula está sometida a

Su peso

$m_1\vec{g} =-m_1g\vec{\jmath}$

La reacción normal de la superficie de apoyo, normal a ésta

$\vec{F}_n =F_n\vec{\jmath}$

La tensión de la varilla, que va a lo largo de ella

$\vec{F}_{T1} =F_T(S\vec{\imath}-C\vec{\jmath})$

Separando por componentes queda

$m_1 \ddot{x}_1=F_TS\qquad\qquad 0 = -m_1g+F_n-F_TC$

La última ecuación nos permite hallar la reacción normal, que es superior al peso

$F_n = m_1g+F_TC\,$

No conocemos la tensión. Pare llo, necesitamos la ecuación de movimiento de la segunda partícula

2.2 Para la partícula 2

La partícula 2 está sometida a

Su peso

$m_2\vec{g} =-m_2g\vec{\jmath}$

La tensión de la varilla, que va a lo largo de ella y es opuesta a la que actúa sobre la 1

$\vec{F}_{T2} =F_T(-S\vec{\imath}+C\vec{\jmath})$

Separando por componentes queda

$m_2 \ddot{x}_2=-F_TS\qquad\qquad m_2\ddot{y}_2 = -m_2g+F_TC$

2.3 Movimiento horizontal del CM

Para la componente horizontal de las dos partículas tenemos que

$m_1 \ddot{x}_1=F_TS\qquad\qquad m_2\ddot{x}_2 = - F_T S$

de donde

$0 = m_1 \ddot{x}_1+ m_2\ddot{x}_2 = \frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}t^2}(m_1x_1+m_2x_2)$

Esta ecuación se puede integrar de forma inmediata

m 1 x 1 + m 2 x 2 = A + B t

En términos de la posición del centro de masas queda

$x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{A+Bt}{m_1+m_2}=x_{G0}+v_{xG0}t$

que nos dice que el movimiento horizontal del CM es uniforme. En particular si inicialmente las dos partículas están en reposo, la componente x de la posición del CM permanece constante (aunque el CM se moverá verticalmente).

En términos de la coordenada x de la primera partícula y del ángulo con la vertical, la posición horizontal del CM cumple

$x_G=x+\frac{m_2}{m_1+m_2}bS\qquad\Rightarrow\qquad x=x_G-\frac{m_2}{m_1+m_2}bS$

con lo cual, si determinamos como varía en el tiempo el ángulo θ obtenemos también el valor de x como función del tiempo.

2.4 Ecuación para el ángulo θ

Tenemos las dos ecuaciones

$m_2\ddot{x}_2 = - F_T S\qquad\qquad m_2\ddot{y}_2=F_TC-m_2g$

Eliminamos la tensión de estas ecuaciones combinándolas y queda

$\ddot{x}_2C+\ddot{y}_2S = -gS$

Debemos escribir estas dos derivadas en función del ángulo θ y sus derivadas.

Para $\ddot{y}_2$ ya lo hemos escrito:

$\ddot{y}_2=b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C$

Para $\ddot{x}_2$ nos ayudamos del CM

$x_2=x+bS=x_G+\frac{m_1}{m_1+m_2}bS$

Derivando aquí dos veces

$\ddot{x}_2 = \frac{m_1b}{m_1+m_2}(\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S)$

y por tanto llegamos a la ecuación

$\left(\frac{m_1b}{m_1+m_2}(\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S)\right)C+\left(b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C\right)S = -gS$

Agrupamos términos y queda

$\frac{m_1+m_2S^2}{m_1+m_2}\ddot{\theta}+\frac{m_2SC}{m_1+m_2}\dot{\theta}^2 = -\frac{g}{b}S$

Esta es la ecuación de movimiento para el péndulo. Como vemos es bastante más compleja que para un péndulo simple.

En el caso particular $m_1to\infty$ la masa superior se queda inmóvil y la ecuación se reduce a

$(m_1\to\infty)\qquad\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{b}\mathrm{sen}(\theta)$

que sí es la ecuación del péndulo simple.

3 Constantes de movimiento

Este sistema posee dos integrales primeras o constantes de movimiento (además de las triviales, como las masas o las coordenadas que están fijadas por los vínculos).

3.1 Componente de la cantidad de movimiento

La primera de las dos constantes ya la hemos visto. Se trata de la componente horizontal de la cantidad de movimiento del sistema

$p_x=m_1\dot{x}_1+m_2\dot{x}_2$

Es la constancia de esta magnitud la que nos da que el movimiento horizontal del CM es uniforme.

En función de x y del ángulo θ esta cantidad vale

$p_x = (m_1+m_2)\dot{x}+m_2b\dot{\theta}C$

y en función de la posición del CM

$p_x=(m_1+m_2)\dot{x}_G$

3.2 Energía mecánica

En este sistema todas las fuerzas de reacción vincular son debidas a ligaduras lisas geométricas y esclerónomas, por lo que no realizan trabajo. La única fuerza que sí realiza trabajo es el peso, que es una fuerza conservativa. Por ello, se conserva la energía mecánica del sistema.

$E=K+U=\mathrm{cte.}\,$

En función de x y del ángulo θ la energía potencial vale

$U = m_2gy_2=-m_2gbC\,$

y la cinética

$K=\frac{1}{2}m_1 \dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2) =\frac{1}{2}m_1\dot{x}^2+\frac{1}{2}m_2((\dot{x}+b\dot{\theta}C)^2+b^2\dot{\theta}^2S^2)$

Agrupando términos

$E = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^2 + m_2b\dot{x}\dot{\theta}C+\frac{1}{2}m_2b^2\dot{\theta}^2-m_2gbC$

Si en lugar de la coordenada x de la primera partícula empleamos la del CM, la energía cinética queda en la forma

$K=\frac{m_1}{2}\left(\dot{x}_G-\frac{m_2bC}{m_1+m_2}\dot{\theta}\right)^2+\frac{m_2}{2}\left(\left(\dot{x}_G+\frac{m_1bC}{m_1+m_2}\dot{\theta}\right)^2+b^2\dot{\theta}^2S^2\right)=\frac{m_1+m_2}{2}\dot{x}_G^2+ \frac{m_2b^2(m_1+m_2S^2)}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2$

y la mecánica

$E=\frac{m_1+m_2}{2}\dot{x}_G^2+ \frac{m_2b^2(m_1+m_2S^2)}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2-m_2gbC$

Estas dos constantes de movimiento pueden combinarse. El primero de los sumandos ya es constante por la otra integral primera, por lo que podemos definir una energía mecánica efectiva, también constante, que depende solo del ángulo θ y sus derivadas

$E_\mathrm{ef}=E-\frac{p_x^2}{2(m_1+m_2)}=\frac{m_2b^2(m_1+m_2S^2)}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2-m_2gbC$

Si derivamos esta cantidad respecto al tiempo reobtenemos la ecuación de movimiento para el ángulo θ. Equivalentemente, integrando dicha ecuación de movimiento se llega a esta integral primera.

4 Pequeñas oscilaciones

Cuando el péndulo está casi vertical y se suelta realiza oscilaciones alrededor de la posición vertical. La frecuencia de etas oscilaciones, no obstante, no es la misma que la de un péndulo simple.

Si $\theta\ll 1$ podemos hacer las aproximaciones

$C=\cos(\theta)\simeq 1\qquad\qquad S=\mathrm{sen}(\theta)\simeq \theta$

y despreciar todos los términos en que θ aparezca al cuadrado o potencias superiores. En este caso, la ecuación de movimiento para el ángulo se aproxima a

$\frac{m_1}{m_1+m_2}\ddot{\theta} = -\frac{g}{b}\theta$

que se transforma en la del oscilador armónico

$\ddot{\theta} = -\frac{g(m_1+m_2)}{bm_1}\theta$

siendo la frecuencia de las oscilaciones

$\omega=\sqrt{\frac{g(m_1+m_2)}{bm_1}}$

Solo en el límite $m_1\to\infty$ se reduce a la frecuencia del péndulo simple.

5 Paso por la vertical

5.1 Velocidades

Si el péndulo se suelta desde el reposo en la posición horizontal quiere decir que las dos constantes de movimiento valen

$p_x=m_1\dot{x}_1+m_2\dot{x}_2=(m_1+m_2)\dot{x}_G=0\qquad E=E=\frac{m_1+m_2}{2}\dot{x}_G^2+ \frac{m_2b^2(m_1+m_2S^2)}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2-m_2gbC=0$

ya que se anulan todos los términos.

La velocidad de la masa 1 cuando el péndulo pasa por la vertical es

$\vec{v}_1=\dot{x}_1\vec{\imath}= \left(\dot{x}_G-\frac{m_2bC}{m_1+m_2}\dot{\theta}\right)\vec{\imath}=-\frac{m_2b}{m_1+m_2}\dot{\theta}\vec{\imath}$

y la de la 2

$\vec{v}_2=\dot{x}_2\vec{\imath}+\dot{y}_2\vec{\jmath}= \left(\dot{x}_G+\frac{m_1bC}{m_1+m_2}\dot{\theta}\right)\vec{\imath}-bS\dot{\theta}\vec{\jmath}=\frac{m_1b}{m_1+m_2}\dot{\theta}\vec{\imath}$

Para completar el cálculo debemos conocer la velocidad angular del péndulo. Obtenemos este valor a partir de la energía mecánica.

$0 = E=\frac{m_2b^2(m_1+m_2S^2)}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2-m_2gbC=\frac{m_2m_1b^2}{2(m_1+m_2)}\dot{\theta}^2-m_2gb\qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=-\sqrt{\frac{(m_1+m_2)g}{m_1b}}$

y por tanto

$\vec{v}_1=\frac{m_2b}{m_1+m_2}\sqrt{\frac{(m_1+m_2)g}{m_1b}}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_2=-\frac{m_1b}{m_1+m_2}\sqrt{\frac{(m_1+m_2)g}{m_1b}}\vec{\imath}$

5.2 Tensión de la barra

La tensión de la barra la obtenemos de la ecuación de movimiento para la masa 2. En la posición vertical

$m_2\ddot{y}_2=F_{T}-m_2g\qquad\Rightarrow\qquad F_T = m_2(g+\ddot{y}_2)$

siendo la aceleración vertical de la masa 2 en ese punto ( $S = 0$ , $C = 1$ )

$\ddot{y}_2=b\dot{\theta}^2\qquad\Rightarrow\qquad F_T=m_2(g+b\dot{\theta}^2)$

El valor de la velocidad angular lo calculamos en el apartado anterior

$F_T= m_2\left(g+b\frac{(m_1+m_2)g}{m_1b}\right)=\frac{m_2g(2m_1+m_2)}{m_1}$

5.3 Reacción del eje horizontal

De la misma manera se calcula la reacción que ejerce el plano sobre el que se halla la masa 1

$F_n = m_1g+F_TC=m_1g+\frac{m_2g(2m_1+m_2)}{m_1}=\frac{(m_1+m_2)^2g}{m_1}$

Dos masas unidas por un péndulo

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1 Enunciado

2 Ecuaciones de movimiento

2.1 Para la partícula 1

2.2 Para la partícula 2

2.3 Movimiento horizontal del CM

2.4 Ecuación para el ángulo θ

3 Constantes de movimiento

3.1 Componente de la cantidad de movimiento

3.2 Energía mecánica

4 Pequeñas oscilaciones

5 Paso por la vertical

5.1 Velocidades

5.2 Tensión de la barra

5.3 Reacción del eje horizontal

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