Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)

De Laplace

1 Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $O X 0$ y $O Z 0$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $O Z 1$ , de tal modo que el eje $O X 0$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}$ .
¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
La aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}$ y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}

2 Velocidades

2.1 De B

2.1.1 En el movimiento {01}

Este es el cálculo más fácil. B se halla en el propio eje de rotación de este movimiento, por lo que

$\vec{v}^B_{01}=\vec{0}$

2.1.2 En el movimiento {20}

Esta velocidad la calculamos conjuntamente con la de A, ya que el movimiento de la barra deslizando sobre le eje horizontal y el vertical es idéntico al del “problema de la escalera”.

La velocidad angular de este movimiento es

$\vec{\omega}_{20}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0$

Para sacar el sentido de esta velocidad angular conviene ayudarse de la regla de la mano derecha y ver para donde apunta el pulgar si θ aumenta.

Las velocidades de A y B cumplen

$\vec{v}^A_{20}=v^A_{20}\vec{\imath}_0\qquad\qquad \vec{v}^B_{20}=v^B_{20}\vec{k}_0$

Aplicando el campo de velocidades de un sólido rígido

$\vec{v}^B_{20}=\vec{v}^A_{20}+\vec{\omega}_{20}\times \overrightarrow{AB}$

donde

$\overrightarrow{AB}=-b\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+b\cos(\theta)\vec{k}_0=-b\,S\vec{\imath}_0+b\,C\vec{k}_0$

Introducimos las abreviaturas usuales $S = sen(θ)$ y $C = cos(θ)$ . Queda

$v^B_{20}\vec{k}_0 = v^A_{20}\vec{\imath}_0+(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(-b\,S\vec{\imath}_0+b\,C\vec{k}_0)=\left(v^A_{20}-b\dot{\theta}\,C\right)\vec{\imath}_0-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0$

Igualando componente a componente nos queda

$v^B_{20}=-b\dot{\theta}\,S\qquad\qquad v^A_{20}=b\dot{\theta}\,C$

En forma vectorial

$\vec{v}^B_{20}=-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0$

2.1.3 En el movimiento {21}

Una vez que tenemos las dos anteriores, la tercera es inmediata

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}=-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0+\vec{0}=-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0$

2.2 De A

2.2.1 En el movimiento {20}

Esta ya le hemos calculado en el apartado anterior

$\vec{v}^A_{20}=b\dot{\theta}\,C\vec{\imath}_0$

2.2.2 En el movimiento {01}

Esta corresponde a un movimiento de rotación alrededor de $O Z 1$

$\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=(\dot{\phi}\vec{k}_0)\times(b\,S\vec{\imath}_0)=b\dot{\phi}\,S\vec{\jmath}_0$

2.2.3 En el movimiento {21}

Por composición de velocidades

$\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=b\dot{\theta}\,C\vec{\imath}_0+b\dot{\phi}\,S\vec{\jmath}_0$

2.3 De G

El punto G es el central entre A y B. Al ser el campo de velocidades una función lineal de la posición el valor en el punto medio es igual a la media de los valores en los extremos. Así tenemos

2.3.1 En el movimiento {01}

$\vec{v}^G_{01}=\frac{\vec{v}^A_{01}+\vec{v}^B_{01}}{2}=\frac{b}{2}\dot{\phi}\,S\vec{\jmath}_0$

2.3.2 En el movimiento {20}

$\vec{v}^G_{20}=\frac{\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^B_{20}}{2}=\frac{b}{2}\dot{\theta}\left(\,C\vec{\imath}_0-S\vec{k}_0\right)$

2.3.3 En el movimiento {21}

O bien calculamos de nuevo la media o bien, directamente,

$\vec{v}^G_{21}=\vec{v}^G_{20}+\vec{v}^G_{01}=\frac{b}{2}\dot{\theta}\,C\vec{\imath}_0+\frac{b}{2}\dot{\phi}\,S\vec{\jmath}_0-\frac{b}{2}\dot{\theta}\,S\vec{k}_0$

2.4 Velocidad angular

Las velocidades angulares de las dos rotaciones {20} y {01} ya las hemos usado y valen

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0$

por lo que la de la composición es

$\vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\phi}\vec{k}_0$

3 Clasificación del movimiento

Para clasificar el movimiento necesitamos la velocidad angular y la velocidad de un punto. Por ejemplo,

$\left\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^B_{21}\right\}=\left\{-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\phi}\vec{k}_0,-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0\right\}$

La velocidad angular no es nula. Tampoco es perpendicular a la velocidad lineal, en general, ya que

$\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^B_{21}=-b\dot{\phi}\dot{\theta}\,S$

Solo cuando una de las dos velocidades angulares se anula o la barra está completamente vertical el movimiento se reduce a una rotación.

La posición del un punto del EIRMD la calculamos como

$\overrightarrow{BE}_0=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^B_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=\frac{b\dot{\theta}^2\,S\vec{\imath}_0}{\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2}$

y respecto al origen de coordenadas

$\overrightarrow{OE}_0=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}_0=b\left(\frac{\dot{\theta}^2}{\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2}\,S\vec{\imath}_0+\,C\vec{k}_0\right)$

La ecuación del eje es

$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OE}_0+\lambda\vec{\omega}_{21}$

4 Aceleraciones

4.1 Aceleración angular

Para los movimientos {20} y {01}, que tienen ejes permanentes

$\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\phi}\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\alpha}_{20}=-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0$

y para el movimiento compuesto {21}

$\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\phi}\vec{k}_0+(\dot{\phi}\vec{k}_0)\times(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)= \dot{\phi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\phi}\vec{k}_0$

4.2 Aceleración de B

4.2.1 En el movimiento {01}

Como ocurre con la velocidad, al estar en el eje permanente de rotación

$\vec{a}^B_{01}=\vec{0}$

4.2.2 En el movimiento {20}

La calculamos conjuntamente con la de A, como hicimos para la velocidad. En este movimiento se cumple

$\vec{a}^A_{20}=a^A_{20}\vec{\imath}_0\qquad\qquad \vec{a}^B_{20}=a^B_{20}\vec{k}_0$

y por la ecuación del campo de aceleraciones

$\vec{a}^B_{20}=\vec{a}^A_{20}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB}+\vec{\omega}_{20}\times\left(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB}\right)$

Sustituimos aquí y queda

$a^B_{20}\vec{k}_0=a^A_{20}\vec{\imath}_0-b\ddot{\theta}\left(\,C\vec{\imath}_0+S\vec{k}_0\right)-b\dot{\theta}^2\left(-S\vec{\imath}_0+\,C\vec{k}_0\right)$

Igualamos componente a componente y resulta

$a^A_{20}=b\ddot{\theta}\,C-b\dot{\theta}^2S \qquad\qquad a^B_{20}=-b\ddot{\theta}\,S-b\dot{\theta}^2\,C$

y, en forma vectorial,

$\vec{a}^B_{20}=-b\left(\ddot{\theta}\,S+\dot{\theta}^2\,C\right)\vec{k}_0$

4.2.3 En el movimiento {21}

Por el teorema de Coriolis

$\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}$

Sustituimos cada término y queda

$\vec{a}^B_{21}=-b\left(\ddot{\theta}\,S+\dot{\theta}^2\,C\right)\vec{k}_0+2(\ddot{\phi}\vec{k}_0)\times(-b\dot{\theta}\,S\vec{k}_0)=-b\left(\ddot{\theta}\,S+\dot{\theta}^2\,C\right)\vec{k}_0$

El término de Coriolis se anula por tratarse del producto vectorial de dos vectores paralelos.

4.3 Aceleración de A

4.3.1 En el movimiento {20}

Esta ya la hemos calculado

$\vec{a}^A_{20}=\left(b\ddot{\theta}\,C-b\dot{\theta}^2S\right)\vec{\imath}_0$

4.3.2 En el movimiento {01}

Esta es la correspondiente a un movimiento de rotación en torno a $O Z 1$

$\vec{a}^A_{01}=\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{OA}\right)=b\ddot{\phi}S\vec{\jmath}_0-b\dot{\phi}^2S\vec{\imath}_0$

4.3.3 En el movimiento {21}

Aplicamos el teorema de Coriolis

$\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}$

lo que nos da

$\vec{a}^A_{21}=\left(b\ddot{\theta}\,C-b\dot{\theta}^2S\right)\vec{\imath}_0+\left(b\ddot{\phi}S\vec{\jmath}_0-b\dot{\phi}^2S\vec{\imath}_0\right)+2(\dot{\phi}\vec{k}_0)\times(b\dot{\theta}\,C\vec{\imath}_0)$ $=\left(b\ddot{\theta}\,C-b\dot{\theta}^2S-b\dot{\phi}^2S\right)\vec{\imath}_0+ \left(b\ddot{\phi}S+2\dot{\phi}\dot{\theta}\,C\right)\vec{\jmath}_0$

4.4 Aceleración de G

Como con la velocidad, la aceleración en el punto medio es igual a la media de las aceleraciones, por lo que para los tres movimientos se cumple

$\vec{a}^G_{ik}=\frac{\vec{a}^A_{ik}+\vec{a}^B_{ik}}{2}$