5.6. Barra deslizante en armazón rotatorio

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidades de A
3 Velocidades de B
4 Aceleraciones

1 Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $O X 0$ y $O Z 0$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $O Z 1$ , de tal modo que el eje $O X 0$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$ , se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje $O X 0$ , mientras que su extremo $B$ desliza a lo largo del eje $O Z 0$ . Utilizando los ángulos $θ$ y $\varphi$ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

$\vec{v}^{A}_{01}$ , $\vec{v}^{A}_{20}$ y $\vec{v}^{A}_{21}$ .
$\vec{v}^{B}_{01}$ , $\vec{v}^{B}_{20}$ y $\vec{v}^{B}_{21}$ .
$\vec{\alpha}_{21}$ , $\vec{a}^{A}_{21}$ y $\vec{a}^{B}_{21}$ .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

2 Velocidades de A

Movimiento de arrastre {01}: En su movimiento como punto del armazón, el punto A se encuentra rotando alrededor del eje $O Z 0$ . Su velocidad instantánea es

$\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}$

La velocidad angular de este movimiento la da la derivada temporal del ángulo que forman los dos ejes

O X 1

y

O X 0

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0$

mientras que la posición instantánea de A es

$\overrightarrow{OA}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0$

lo que nos da la velocidad de arrastre

$\vec{v}^A_{01}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0) = L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

Movimiento relativo {20}: El punto A de la barra se desliza a lo largo del eje $O X 0$ . Puesto que conocemos su posición en todo momento, podemos hallar su velocidad simplemente derivando

$\vec{r}^A_{20}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0$ $\Rightarrow$ $\vec{v}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^A_{20}\right)\right|_0=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0$

Movimiento absoluto {21}: Una vez que tenemos las velocidades de arrastre y relativa, la velocidad absoluta la calculamos sumando las dos anteriores

$\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

3 Velocidades de B

Las velocidades de B son incluso más fáciles de calcular que las de A.

Velocidad de arrastre {01}: El punto B se encuentra en el propio eje (permanente) de rotación, por lo que

$\vec{v}^B_{01}=\vec{0}$

Velocidad relativa {20}: De nuevo se trata de un deslizamiento, que podemos hallar derivando la posición

$\vec{r}^B_{20}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_0$ $\Rightarrow$ $\vec{v}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^B_{20}\right)\right|_0=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0$

Velocidad absoluta {21}: Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0$

4 Aceleraciones

4.1 Aceleración angular

Para hallar la aceleración angular absoluta emplearemos la fórmula de composición de aceleraciones angulares

$\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}$

En el movimiento de arrastre tenemos una rotación en torno a un eje permanente de rotación, con velocidad angular dada por

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0$

La aceleración angular de este movimiento es la derivada temporal de esta velocidad, calculada en el sistema 1. Este valor coincide con el calculado en el sistema 0 ya que el vector $\vec{k}$ es el mismo para los dos sistemas en todo instante $\vec{k}_0=\vec{k}_1$

$\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\varphi}\vec{k}_0$

En realidad, el resultado es más general y la derivada de una velocidad angular $\vec{\omega}_{01}$ calculada en el sistema 0 coincide siempre con la hallada en el sistema 1:

$\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_1 = \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0+\overbrace{\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{01}}^{=\vec{0}} =\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0$

Para el movimiento relativo, el cálculo es similar. La velocidad angular la da la variación del ángulo $θ$ que forman de manera continua la barra horizontal del armazón “0” y la barra “2”. La dirección y el sentido de $\vec{\omega}_{20}$ los da la regla de la mano derecha, observando para donde gira la barra “2” cuando $θ$ aumenta

$\vec{\omega}_{20}=\dot{\theta}\vec{\jmath}_0$

Derivando aquí respecto al tiempo en el sistema “0” obtenemos la aceleración angular relativa

$\vec{\alpha}_{20}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0$

La aceleración angular absoluta la obtenemos sustituyendo en la fórmula de composición de aceleraciones

$\vec{\alpha}_{21}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0+(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(\dot{\theta}\vec{\jmath}_0) = -\dot{\theta}\dot{\varphi}\vec{\imath}_0+\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0$

4.2 Aceleración de A

El teorema de Coriolis nos da la aceleración angular absoluta

$\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}$

Veamos cada término por separado:

Aceleración relativa {20}: Puesto que conocemos el movimiento de A sobre la barra, podemos calcular la aceleración de A derivando su velocidad relativa

$\vec{a}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = (-L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_0$

Aceleración de arrastre {01}: Al tratarse de una rotación permanente en torno a un eje que pasa por O

$\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})$

donde

$\vec{a}^O_{01}=\vec{0}$ $\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}=(\ddot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0)=L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$ $\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0$

lo que da la aceleración de arrastre

$\vec{a}^A_{01}=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0+L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

Término de Coriolis: Por último tenemos

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}=2(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0) = -2L\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0$

Sumando las tres contribuciones obtenemos la aceleración absoluta

$\vec{a}^A_{21}=-L\left(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2)\cos(\theta)\right)\vec{\imath}_0+L\left(\ddot{\varphi}\cos(\theta)-2\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}_0$

4.3 Aceleración de B

La aceleración absoluta de B es más sencilla de calcular que la de A. El teorema de Coriolis nos da

$\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}$

Sin embargo, la aceleración de arrastre de B es nula, por encontrarse este punto sobre un eje permanente de rotación. Además, la velocidad relativa $\vec{v}^B_{20}$ es a lo largo del eje Z y por tanto paralela a la velocidad angular $\vec{\omega}_{01}$ , por lo que también el término de Coriolis se anula y la aceleración absoluta coincide con la relativa.

$\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}$

A su vez, la aceleración relativa se calcula derivando la velocidad, pues conocemos la posición de B en todo momento

$\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_0$

También podíamos haber dicho directamente que conocemos la posición de B en el sistema 1 y derivar esta expresión respecto al tiempo

$\vec{r}^B_{21}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_1$ $\vec{v}^B_{21}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_1$ $\vec{a}^B_{21}=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_1$

5.6. Barra deslizante en armazón rotatorio

De Laplace

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2 Velocidades de A

3 Velocidades de B

4 Aceleraciones

4.1 Aceleración angular

4.2 Aceleración de A

4.3 Aceleración de B

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