Disco arrastrando una varilla

De Laplace

Revisión a fecha de 00:19 4 feb 2010; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

(Primer Parcial, Enero 2010, P1)

En el sistema de la figura los tres sólidos realizan un movimiento plano cuando el disco de radio

R

(sólido “0”) rueda sin deslizar sobre el sólido “1”. El centro del disco,

C

, se desplaza con una velocidad $\mathbf{v}_C=v(t)\mathbf{i}_1$ . La barra de longitud

3 R

(sólido “2”) tiene su extremo

C

articulado en el centro del disco, mientras que se apoya en el borde

O

del sólido “1”.

Determine gráficamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}.
En el instante en que la distancia entre los puntos $O$ y $B$ es igual a $R$ , la velocidad del punto $C$ es $\mathbf{v}_C=v_0\ \mathbf{i}_1$ . Calcule las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el punto $C$ .
Exprese el vector de posición del punto $A$ en el sistema “1”, $\mathbf{r}_{21}^A$ , en función de un ángulo $β$ arbitrario.
Si $\dot{\beta}=-\Omega$ , con $Ω$ constante y positiva, calcule $\mathbf{v}_{21}^A(t)$ y $\mathbf{a}_{21}^A(t)$ para todo instante de tiempo, en función de $β$ , $Ω$ y $R$ .

2 Solución

Como paso previo a la solución de los distintos apartados procederemos a adoptar los sistemas de referencia equivalentes a los distintos sólidos rígidos del sistema bajo estudio. En la figura del enunciado se indican los ejes $\displaystyle OX_1Y_1$ asocidados al sólido “1”, respecto del cuál, el disco “0” y la varilla “2” realizan sendos movimientos planos {01} y {21}, que tienen como plano director al definido por aquellos ejes; es decir, la dirección normal a dicho plano esta definida por el eje $O Z 1$ . Tal como se muestra en la figura, resulta conveniente adoptar sistemas de referencia ligados a los sólidos móviles “0” y “2” cuyas direcciones $C Z 0$ y $A Z 2$ sean también perpendiculares a dicho plano director. Tomando como eje $A X 2$ la dirección $\overline{AC}$ definida por la varilla “2”, que forma un ángulo $β$ con el eje $O X 1$ , y como eje $C X 0$ una dirección arbitraria contenida en el disco “0”, se tendrá la siguiente relación entre los vectores de los triedros cartesianos asociados a cada uno de los sólidos:

$\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{i}_2=\cos\beta\ \mathbf{i}_1+\mathrm{sen} \beta\ \mathbf{j}_1 \\ \displaystyle \mathbf{j}_2=-\mathrm{sen} \beta\ \mathbf{i}_1+\cos\beta\ \mathbf{j}_1\\ \displaystyle \mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1 \end{array}\qquad \qquad \qquad \qquad\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{i}_0=\cos\varphi\ \mathbf{i}_1-\mathrm{sen} \varphi\ \mathbf{j}_1 \\ \displaystyle \mathbf{j}_0=\mathrm{sen} \varphi\ \mathbf{i}_1+\cos\varphi\ \mathbf{j}_1\\ \displaystyle \mathbf{k}_0=\mathbf{k}_1 \end{array}$

Los movimientos relativos de los sólidos “2” y “0” respecto del sólido fijo “1” se corresponderán con sendas leyes horarias $β(t)$ y $\varphi(t)$ que describen cómo cambian en el tiempo dichos ángulos y, por tanto, cómo se mueven los triedros $\{\mathbf{i}_2\mathrm{,}\mathbf{j}_2\mathrm{,}\mathbf{k}_2\}$ y $\{\mathbf{i}_0\mathrm{,}\mathbf{j}_0\mathrm{,}\mathbf{k}_0\}$ , respecto del $\{\mathbf{i}_1\mathrm{,}\mathbf{j}_1\mathrm{,}\mathbf{k}_1\}$ . Además, aplicando las fórmulas de Poisson podemos establecer la relación entre las derivadas de dichas leyes horarias y los vectores rotación instaneas de los movimientos {01} y {21}:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_0}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\mathbf{0}=\mathbf{\omega}_{01}\times\mathbf{k}_0 \\ {} \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{i}_0}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=-\dot{\varphi}(t)\ \mathbf{j}_0=\mathbf{\omega}_{01}\times\mathbf{i}_0\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{\omega}_{01}=-\dot{\varphi}(t)\ \mathbf{k}_1$

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_2}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\mathbf{0}=\mathbf{\omega}_{21}\times\mathbf{k}_2 \\{}\\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{i}_2}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\dot{\beta}(t)\ \mathbf{j}_2=\mathbf{\omega}_{21}\times\mathbf{i}_2\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{\omega}_{21}=\dot{\beta}(t)\ \mathbf{k}_1$

2.1 Determinación gráfica de los C.I.R.

Por tratarse de movimientos planos, los C.I.R. se corresponden con los puntos que en un determinado instante se encuentran en reposo (instantáneo o permanente). Consideremos el instante arbitrario $t$ , en que los ejes $A X 2$ y $C X 0$ forman sendos ángulos $β(t)$ y $\varphi (t)$ .

El sólido “0” (disco) rueda sin deslizar sobre el eje $O X 1$ ; por tanto, si $B$ es el punto de contacto entre ambos sólidos en el instante considerado, tendrá velocidad instantánea nula y sera el C.I.R. del movimiento {01}:

$\overrightarrow{CB}(t)=-R\ \mathbf{j}_1\, \longrightarrow\, \mathbf{v}_{01}^B(t)=\mathbf{0}$ $\Rightarrow$ $B\equiv I_{01}(t)$

En todo instante, el punto $C$ es el centro del disco “0” y uno de los extremos de la varilla “2”. Por tanto, se trata de un punto que permanece fijo en el movimiento relativo {20} (y también en el {02}). En consecuencia, el punto $C$ es el centro permanente de rotación de dicho(s) movimiento(s):

$\mathbf{v}_{20}^C(t)=\mathbf{0}\mathrm{,}\;\ \forall\ t$ $\Rightarrow$ $C\equiv I_{20}$

Además, utilizando la ley composición de velocidades instantáneas, se tendrá...

$\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{21}^C(t)=\mathbf{v}_{20}^C\!\!\!\!\!\!\!\searrow (t)+\mathbf{v}_{01}^C(t)=\mathbf{v}_{01}^C(t)\mathbf{,}\;\ \forall\, t\\ \qquad\qquad\quad\;\mathbf{0}\end{array}$

Aplicando el teorema de los tres centros se tendrán que el C.I.R. del movimiento {21}, en el instante considerado, debe encontrarse en la recta $\displaystyle\Delta$ determinada por los puntos $B$ y $C$ que, como hemos visto, se corresponden con los C.I.R. de los movimientos {01} y {20}, respectivamente. Por tanto,

$I_{21}\in \Delta (B,C)\|\ \mathbf{j}_1\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{CI}_{21}=\lambda\ \mathbf{j}_1$

siendo $\lambda\in \mathrm{I}\!\mathrm{R}$ el parámetro cuyo signo y valor determina la posición del $I 21$ respecto del punto $C$ en el instante considerado. Por otra parte, obsérvese que la recta $\displaystyle\Delta$ es la dirección contenida en el plano de movimiento que además es perpendicular a la velocidad del punto $C$ , tanto en el movimiento {01} como en el {21}. De esta forma, se tendrá...

$\mathbf{v}_C(t)=\mathbf{v}_{01}^C(t)=\mathbf{v}_{21}^C(t)\perp \mathbf{k}_1\mathbf{,}\Delta\quad\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{01}^C(t)=\mathbf{\omega}_{01}\times\overrightarrow{I_{01}C}\\ \\ \displaystyle\mathbf{v}_{21}^C(t)=\mathbf{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}C}\end{array}\right.$

Para determinar la posición del $I 21$ necesitamos conocer más datos, por ejemplo, la dirección de la velocidad de otro punto de la varilla en el movimiento {21}. Y este dato podemos conocerlo para el punto de dicho sólido “2” que en un determinado instante se halla en contacto con el vértice $O$ del sólido fijo “1”. Para verlo más claramente consideraremos el movimiento {12}; es decir, el que realiza el vértice $O$ del sólido “1” observado desde el sólido “2”: como dicho punto está siempre en contacto con la varilla, su velocidad en el movimiento {12} debe ser colineal con ella; es decir, tiene la dirección del segmento $\overline{CA}$ . Y puesto que las velocidades instantáneas de un mismo punto en los movimientos {12} y {21} son opuestas, se verificará:

$\displaystyle\mathbf{v}_{21}^O(t)=\mathbf{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}O}=-\mathbf{v}_{12}^O(t)\ \|\ \overrightarrow{AC}=3R\ \mathbf{i}_2$

Por tanto, el C.I.R. del movimiento {21}, $I 21$ , deber estar sobre la recta $\displaystyle\Gamma$ contenida en el plano de movimiento, que pasa por el punto $O$ y es perpendicular a la dirección definida por $\overrightarrow{AC}$ :

$I_{21}\in \Gamma (O)\perp \ \mathbf{k}_{1,2}\ \mathbf{;}\ \mathbf{i}_2\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{OI}_{21}=\mu\ \mathbf{j}_2=\mu \left(-\mathrm{sen} \beta\ \mathbf{i}_1+\cos\beta\ \mathbf{j}_1\right)$

donde $\mu\in \mathrm{I}\!\mathrm{R}$ es el parámetro cuyo signo y valor determina la posición del $I 21$ respecto de $O$ en el instante $t$ . La condición de pertenecia simultánea a las rectas $\displaystyle\Delta$ y $\displaystyle\Gamma$ permite determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}:

$I_{21}=\Delta\bigcap\Gamma$

Y con este resultado gráfico, ya es fácil determinar la posición relativa de dicho punto respecto de otros puntos de referencia del sistema y en función de sus propiedades geométricas. Consideremos los triángulos rectángulos $O B C$ y $O B I 21$ , ambos con su ángulo recto en sus correspondientes vértices $B$ . En el $O B C$ se verifica la relación,

$\mathrm{sen}\beta=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{OC}|}=\frac{R}{|\overrightarrow{OC}|}$

Por su parte,

El ángulo correspondiente al vértice $O$ es el complementario de $β$ , por lo que el del vértice correspondiente al $I 21$ es también el ángulo $β$ . Por tanto, se verificarán las siguientes relaciones:

E s c r i b a a q u u n a f r m u l a

Por ejemplo, utilizando las expresiones analíticas se tendrá...

$\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}_{21}\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle -\mu\end{array}\right.$

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