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Densidades de carga de polarización

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Potencial debido a una polarización

3 Densidades de carga de polarización

La expresión del potencial debido a un volumen polarizado puede transformarse en suma de dos integrales

\phi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau\frac{\rho_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'+ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\partial\tau}\frac{\sigma_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}S'

donde

\rho_p=-\nabla\cdot\mathbf{P}    y    \sigma_p=\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}

son las llamadas densidades de carga de polarización. Aquí \mathbf{n} es la normal exterior a la superficie del material polarizado.

La ventaja de esta transformación en suma de dos integrales es que este tipo de integrales corresponden al potencial debido a distribuciones de carga eléctrica. De esta forma se reduce un problema nuevo (el potencial debido a una distribución continua de dipolos) a uno ya conocido (el potencial de distribuciones de cargas)

En términos físicos, esto equivale a decir que una polarización es equivalente a una superposición de dos distribuciones de carga, una volumétrica y otra superficial.

3.1 Volumétrica

3.2 Superficial

3.3 Demostración

Para demostrar la equivalencia entre ambas expresiones, simplemente usamos la relación vectorial

\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} = \nabla'\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)

donde la prima sobre el operador nabla significa que las derivadas son respecto a las coordenadas con prima (las posiciones de las fuentes).

De esta forma el potencial debido a la polarización se puede escribir

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau\mathbf{P}(\mathbf{r'})\cdot\nabla'\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\,\mathrm{d}\tau'

Usando ahora el álgebra del operador nabla

\nabla\cdot(\psi\mathbf{A}) = \nabla\psi\cdot\mathbf{A}+\psi\nabla\cdot\mathbf{A}

podemos transformar la integral en

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\int_\tau\nabla'\left(\frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\,\mathrm{d}\tau'-\int_\tau \frac{\nabla'\cdot\mathbf{P}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}'}\mathrm{d}\tau'\right)

Aplicando el teorema de Gauss a la primera integral la transformamos en una de superficie

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\oint_{\partial\tau}\frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\,\mathrm{d}\tau'-\int_\tau \frac{\nabla'\cdot\mathbf{P}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}'}\mathrm{d}\tau'

Aplicando que \mathrm{d}\mathbf{S}'=\mathbf{n}'\cdot\mathrm{d}S' obtenemos finalmente la expresión deseada

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\oint_{\partial\tau}\frac{\sigma_p(\mathbf{r}')\,\mathrm{d}S'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\,\mathrm{d}\tau'-\int_\tau \frac{\rho_p(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}'}\mathrm{d}\tau'/math></center> ==Densidad de carga libre== ==Carga y momento de &rho;<sub>p</sub> y &sigma;<sub>p</sub>== Como a toda densidad de carga, a la de polarización se le puede calcular sus momentos multipolares, con el fin de aproximar el potencial que produce una distribución de dipolos en puntos alejados de ella. ===Carga neta=== La carga neta (momento monopolar) de una distribución de carga de polarización es siempre nula <center><math>Q_p=\int_\tau \rho_p\,\mathrm{d}\tau+\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathrm{d}S\equiv 0

Este resultado es una consecuencia de que la distribución de carga de polarización es equivalente a un conjunto de dipolos. Puesto que cada dipolo es eléctricamente neutro, la carga total del sistema es nula.

Podemos demostrar este resultado a partir de las definiciones de ρp y σp, por aplicación del teorema de Gauss. Por un lado tenemos que

\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

y por otro

\int_{\tau}\rho_p\,\mathrm{d}\tau=-\int_{\tau}\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=-\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

Sumando los dos términos

Q_p = \oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}-\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0

3.4 Momento dipolar

El momento dipolar de la distribución de cargas de polarización equivale a la integral de la polarización

\mathbf{p}= \int_\tau \rho_p\,\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau+\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathbf{r}\,\mathrm{d}S \equiv\int_\tau\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau

De nuevo este resultado es elemental: si la polarización es la densidad de momento dipolar, su integral nos dará el momento dipolar total.

La demostración es similar a la anterior pero, al tratarse de vectores, es un poco más complicada. Puede hacerse considerando por separado cada una de las componentes cartesianas del momento dipolar.

4 Ecuaciones de la electrostática en dieléctricos

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Densidades_de_carga_de_polarizaci%C3%B3n"

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