Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo
De Laplace
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1 Planteamiento
Tenemos una elipse de semiejes a y b (a > b) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo α con el semieje mayor.
El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace
con la condición de Neumann en la superficie de la partícula
y con el comportamiento asintótico
2 Coordenadas elípticas
Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por
con
En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por
Para estas coordenadas tenemos los factores de escala
Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver
con la condición de Neumann
y con la condición de que en el infinito
3 Solución para el potencial
La solución se halla simplemente observando que la condición de que a grandes distancias
lo que nos permite sustituir el potencial en el infinito por
y esta, que ya es de por sí una solución de la ecuación de Laplace, nos dice cual es la solución del problema completo (que en 
tiene derivada nula). El potencial es
mientras que la función corriente, que nos da las líneas de campo, es
4 Momento dipolar
Para ver que esto equivale a un campo uniforme más un dipolo tenemos que demostrar que su comportamiento en puntos alejados va como
