Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

Revisión a fecha de 20:17 12 ene 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Planteamiento
2 Coordenadas elípticas
3 Solución para el potencial
4 Momento dipolar
5 Torque

1 Planteamiento

Tenemos una elipse de semiejes $a$ y $b$ ( $a > b$ ) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo $α$ con el semieje mayor.

El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi = 0$

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

$\mathbf{n}\cdot\nabla\phi = 0\qquad(\mathbf{r}\in S)$

y con el comportamiento asintótico

$\phi\to -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\,$

2 Coordenadas elípticas

Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por

$x = c \cosh\xi\cos\eta\,$ $y = c \sinh\xi\sin\eta\,$

con

$c = \sqrt{a^2-b^2}$

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

$\xi=\xi_0=\,\mathrm{arctanh}\left(\frac{b}{a}\right)$

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

$h_\xi = h_\eta = h = \sqrt{\cosh^2\xi-\cos^2\eta}$

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

$\frac{\partial^2\phi}{\partial\xi^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial\eta^2}=0$

con la condición de Neumann

$\frac{\partial\phi}{\partial\xi}=0\qquad(\xi=\xi_0)\,$

y con la condición de que en el infinito

$\phi\to-E_0c(\cosh\xi\cos\eta\cos\alpha+\sinh\xi\sin\eta\sin\alpha)\,$

3 Solución para el potencial

La solución se halla simplemente observando que la condición de que a grandes distancias

$\cosh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}$ $\sinh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}$

lo que nos permite sustituir el potencial en el infinito por

$\phi\sim -\frac{E_0c\mathrm{e}^{\xi}}{2}\cos(\eta-\alpha)$

y esta, que ya es de por sí una solución de la ecuación de Laplace, nos dice cual es la solución del problema completo (que en $\xi = \xi_0\,$ tiene derivada nula). El potencial es

$\phi= -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)\cos(\eta-\alpha)$

mientras que la función corriente, que nos da las líneas de campo, es

$\psi = -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\sinh(\xi-\xi_0)\sin(\eta-\alpha)$

4 Momento dipolar

Para ver que esto equivale a un campo uniforme más un dipolo tenemos que demostrar que su comportamiento en puntos alejados va como

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \phi \sim -E_0(x\cos\alpha+y\sen\alpha) + \frac{P_xx+P_y y}{x^2+y^2}

Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

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3 Solución para el potencial

4 Momento dipolar

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