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Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

Contenido

1 Planteamiento

Tenemos una elipse de semiejes a y b (a > b) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo α con el semieje mayor.

El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi = 0

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

\mathbf{n}\cdot\nabla\phi = 0\qquad(\mathbf{r}\in S)

y con el comportamiento asintótico

\phi\to -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\,

2 Coordenadas elípticas

Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por

x = c \cosh\xi\cos\eta\,        y = c \sinh\xi\sin\eta\,

con

c = \sqrt{a^2-b^2}

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

\xi=\xi_0=\,\mathrm{arctanh}\left(\frac{b}{a}\right)

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

h_\xi = h_\eta = h = \sqrt{\cosh^2\xi-\cos^2\eta}

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

\frac{\partial^2\phi}{\partial\xi^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial\eta^2}=0

con la condición de Neumann

\frac{\partial\phi}{\partial\xi}=0\qquad(\xi=\xi_0)\,

y con la condición de que en el infinito

\phi\to-E_0c(\cosh\xi\cos\eta\cos\alpha+\sinh\xi\sin\eta\sin\alpha)\,

3 Solución para el potencial

la solución se halla simplemente observando que la condición de que en \xi = \xi_0\, la derivada sea nula, conduce a una solución de la forma

\phi = \cosh(\xi-\xi_0)(A\cos\eta+B\sin\eta)\,

El comportamiento asintótico para ξ grande de esta solución es

\phi \sim \frac{\mathrm{e}^{\xi-\xi_0}}{2}\left(A\cos\eta+B\sin\eta\right)

4 Momento dipolar

5 Torque

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Part%C3%ADcula_el%C3%ADptica_en_campo_el%C3%A9ctrico_oblicuo"

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