Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

Revisión a fecha de 18:48 12 ene 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Planteamiento
2 Coordenadas elípticas
3 Solución para el potencial
4 Momento dipolar
5 Torque

1 Planteamiento

Tenemos una elipse de semiejes $a$ y $b$ ( $a > b$ ) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo $α$ con el semieje mayor.

El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi = 0$

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

$\mathbf{n}\cdot\nabla\phi = 0\qquad(\mathbf{r}\in S)$

y con el comportamiento asintótico

$\phi\to -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\,$

2 Coordenadas elípticas

Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por

$x = c \cosh\xi\cos\eta\,$ $y = c \sinh\zeta\sin\eta\,$

con

$c = \sqrt{a^2-b^2}$

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

$\zeta=\zeta_0=\,\mathrm{arctanh}\left(\frac{b}{a}\right)$

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

$h_\zeta = h_\eta = h = \sqrt{\cosh^2\zeta-\cos^2\eta}$

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

$\frac{\partial^2\phi}{\partial\zeta^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial\eta^2}=0$

con la condición de Neumann

$\frac{\partial\phi}{\partial\zeta}=0\qquad(\zeta=\zeta_0)$

Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

Contenido

1 Planteamiento

2 Coordenadas elípticas

3 Solución para el potencial

4 Momento dipolar

5 Torque

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