Campo debido a una esfera cargada uniformemente

De Laplace

Revisión a fecha de 18:57 9 ene 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una esfera de radio $R$ almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente en su volumen.

Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.
Halle la fuerza que experimenta un dipolo $\mathbf{p}$ situado en el interior de esta nube de carga.

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss.

Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central

$\phi=\phi(r)\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r$

Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la esfera de carga obtenemos

$\Phi_\mathrm{e}\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint \left(E(r)\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\,\mathbf{u}_r\right)=\oint E(r)\,\mathrm{d}S$

Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera ( $r = cte$ ) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral

$\Phi_e = \oint E(r)\,\mathrm{d}S= E(r)\oint \mathrm{d}S =4\pi r^2 E$

Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica.

Este resultado es general para cualquier sistema con simetría esférica, sea una carga puntual, una superficie cargada o una distribución radial no uniforme.

De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío

$\oint \mathrm{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}$

Dependiendo de si el radio de la superficie de integración es mayor o menor que el de la esfera de carga, tenemos dos casos:

En el exterior de la nube de carga ( $r > R$ ): En este caso, la superficie de integración contiene a toda la carga del sistema

$Q_\mathrm{int}=Q\,$ $\Rightarrow$ $4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>R)$

El campo en el exterior de la esfera es igual al de una carga puntual que concentrara toda la carga del sistema y estuviera situada en el centro de ésta.

En el interior de la nube ( $r < R$ ): En este caso la superficie de integración no contiene a toda la carga del sistema, sino solo a la porción que quepa dentro de ella. Puesto que la densidad de carga es uniforme, esta carga encerrada es igual a la densidad de carga multiplicada por el volumen de esta esfera:

$Q_\mathrm{int}(r) = \frac{4\pi}{3}r^3\rho_0$

A su vez, la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen total

$\rho_0 = \frac{Q}{4\pi R^3/3}$ $\Rightarrow$ $Q_\mathrm{int}(r)=\frac{Qr^3}{R^3}$

lo que nos da el campo eléctrico

$4\pi r^2 E = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{Qr\mathbf{u}_r}{4\pi\varepsilon_0R^3}$

Atendiendo a la dependencia radial, vemos que el campo en el interior aumenta radialmente desde cero en el centro de la esfera hasta un valor máximo en su superficie.

Reuniendo los dos resultados obtenemos, que para una nube esférica de carga con una carga Q distribuida uniformemente el campo es (usando que $r\mathbf{u}_r=\mathbf{r}$ )

$\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases} = \begin{cases}\displaystyle\frac{\rho_0\mathbf{r}}{3\varepsilon_0} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{\rho_0R^3\mathbf{r}}{3\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases}$

Este campo es continuo en $r = R$ ya que sobre la esfera no hay una densidad superficial de carga.

3 Fuerza sobre un dipolo

la fuerza sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico tiene la expresión

$\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$

En el caso de que el dipolo se encuentre en el interior de la nube de carga, aplicamos esta fórmula a la expresión del campo interior

$\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\left(\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right) = \frac{Q(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$

Campo debido a una esfera cargada uniformemente

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