Disco y varilla con movimiento conico

De Laplace

Revisión a fecha de 18:34 14 dic 2009; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

(Final, Diciembre 2009, P1)

A un disco de radio $R$ y espesor despreciable se le acopla en su centro una barra perpendicular a él (sólido "2") de longitud $L$ . El disco gira de modo que el extremo de esta barra permanece fijo en el punto $O 1$ , como se indica en la figura, y rueda sin deslizar sobre el plano $O X 1 Y 1$ . El eje $X 0$ (sólido "0") se elige de modo que acompaña al disco en su giro. La velocidad angular es $\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_1$ con $Ω$ constante.

Aplicando las leyes de composición de movimientos, calcula la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}$ y la aceleración angular $\vec{\alpha}_{20}$ .
Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como las ecuaciones vectoriales de los respectivos ejes de rotación y mínimo deslizamiento.
Calcula $\vec{v}^B_{21}$ y $\vec{a}^A_{21}$ en el instante indicado en la figura.
Calcula numéricamente los vectores de los apartados 1 y 3 si se tiene $L$ =4 cm, $R$ =3 cm, $ω$ =5 s^-1.

2 Solución

Vamos a analizar los movimientos {01} y {21}, y a partir de su composición obtendremos las magnitudes del movimiento {20}.

2.1 Movimiento {01}

Esta es una rotación pura, con eje de giro permanente que coincide con la línea $OZ_0\equiv OZ_1$ . La velocidad angular es la dada en el enunciado y es constante en el tiempo. Podemos reducir en el punto $O$ , que al estar siempre en el eje tiene velocidad nula siempre. La reducción cinemática de este movimiento es

$\begin{array}{ccc} \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad&\vec{v}^O_{01}=\vec{0} \end{array}$

La ecuación vectorial del eje de rotación es

$\Delta_{01} \equiv \overrightarrow{OI}_{01}=\lambda\,\vec{k}_1$

Podemos también calcular las aceleraciones angular y lineal en el punto $O$

$\vec{\alpha}_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0} \qquad\qquad \vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}^O_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$

2.2 Movimiento {21}

El enunciado nos dice que el disco rueda sin deslizar, por tanto $\vec{v}^A_{21}=\vec{0}$ . Por otro lado el punto $O$ pertenece tanto a la varilla (sólido "2") como al eje $O X 1$ (sólido "1"). Entonces también tenemos $\vec{v}^{O}_{21}=\vec{0}$ . Como la velocidad es nula en los puntos $O$ y $A$ , el eje de rotación $Δ 21$ debe pasar por esos puntos. Entonces la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}$ es de la forma

$\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\imath}_0$

Necesitamos la velocidad en otro punto para poder determinar $ω 21$ . Para ello nos fijamos en el puntp $C$ . Este punto pertenece a la vez al sólido "2" (el disco) y al sólido "0" (el plano $O X 0 Z 0$ . Esto quiere decir que $\vec{v}^C_{20}=\vec{0}$ . Utilizando la descomposición {21}={20}+{01} tenemos

$\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{01}=\vec{v}^C_{01}$

Pero esta velocidad la podemos calcular a partir de la reducción del movimiento {01}. Tenemos

$\vec{v}^C_{01} = \vec{v}^O_{01} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01} =\overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01}$

Para obtener el vector $\overrightarrow{OC}$ observamos la figura de la derecha. Tenemos

$\overrightarrow{OC} = L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 + L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0$

y para el ángulo $α$ se tiene

$\mathrm{sen}\alpha = \frac{R}{\sqrt{L^2+R^2}}\qquad\qquad \cos\alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}$

Es decir

$\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{01}=(L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 + L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\Omega\,\vec{k}_0)= L\,\Omega\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}_0$

Ahora podemos calcular $ω 21$ utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionar las velocidades en los puntos $O$ y $C$

$\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{21}= (L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 + L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\omega_{21}\,\vec{\imath}_0) = \omega_{21}\,L\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}_0$

Comparando esta expresión con la que hemos obtenido antes para $\vec{v}^C_{21}$ obtenemos

$\omega_{21} = -\frac{\Omega}{\tan{\alpha}}=-\Omega\frac{L}{R}$

La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $O$ es

$\vec{\omega}_{21} = -\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0 \qquad\qquad \vec{v}^O_{21} = \vec{0}$

La ecuación vectorial del eje instantáneo de rotación $Δ 21$ es

$\Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OI}_{21} = \mu\,\vec{\imath}_0$

Para calcular la aceleración angular hay que utilizar la ecuación de Poisson que relaciona la derivada temporal en el triedro "0" con la derivada en en el triedro "1"

$\vec{\alpha}_{21} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}= \omega_{21}\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_{0}}{\mathrm{d}t}= \omega_{21}\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0 = \omega_{21}\omega_{01}\,\vec{k}_0\times\vec{\imath}_0 = -\Omega^2\frac{L}{R}\,\vec{\jmath}_0$

Y teniendo en cuenta que el punto $O$ pertenece en todo instante tanto al sólido "2" como al "1", se tiene

$\vec{a}^O_{21}=\vec{0}$

2.3 Movimiento {20}

Para caracterizar este movimiento utilizamos la composición

${21} = {20} + {01}$

Tenemos

$\begin{array}{l} \displaystyle\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Rightarrow \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0 - \Omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \displaystyle\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} \Rightarrow \vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} -\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0} \end{array}$

Calculamos la velocidad y aceleración en el punto $O$ usando la misma composición

$\begin{array}{l} \vec{v}^O_{21} = \vec{v}^O_{20} + \vec{v}^O_{01} \Rightarrow \vec{v}^O_{20} = \vec{v}^O_{21} - \vec{v}^O_{01} = \vec{0} \\ \\ \vec{a}^O_{21} = \vec{a}^O_{20} + \vec{a}^O_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20} \Rightarrow \vec{a}^O_{20} = \vec{a}^O_{21} - \vec{a}^O_{01} - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20} = \vec{0} \end{array}$

El punto $O$ pertenece al eje instantáneo de rotación $Δ 20$ . Su ecuación vectorial es

$\Delta_{20} \equiv \overrightarrow{OI}_{20} = \nu\,\vec{\omega}_{20}$

2.4 Cálculo de v^B₂₁

Calculamos $\vec{v}^B_{21}$ a partir de la reducción del movimiento {21} en el punto $O$ . Utilizando la ecuación del campo de velocidades de este movimiento tenemos

$\vec{v}^B_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21} =\overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21}$

El vector $\overrightarrow{OB}$ se puede expresar como

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$

De la figura tenemos

$\left. \begin{array}{l} \overrightarrow{OA} = \sqrt{L^2+R^2}\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{AB} = 2R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}_0 + 2R\cos\alpha\,\vec{k}_0 \end{array} \right| \Rightarrow \overrightarrow{OB} = (2R\,\mathrm{sen}\,\alpha + \sqrt{L^2+R^2})\,\vec{\imath}_0 + 2R\cos\alpha\,\vec{k}_0$

La velocidad buscada es

$\vec{v}^B_{21} = \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21} = \frac{2\,\Omega\,L^2}{\sqrt{L^2+R^2}}\,\vec{\jmath}_0$

2.5 Cálculo de a^A₂₁

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Partiendo del punto $O$ tenemos

$\begin{array}{rcl} \vec{a}^A_{21} & = & \vec{a}^O_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}) \\ && \\ && \vec{a}^O_{21} = \vec{0} \\ && \\ && \displaystyle\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA} = \frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0 \\ && \\ && \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}) = \vec{0} \end{array}$

Por tanto

$\vec{a}^A_{21} = \frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0$

Disco y varilla con movimiento conico

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Movimiento {01}

2.2 Movimiento {21}

2.3 Movimiento {20}

2.4 Cálculo de v^B₂₁

2.5 Cálculo de a^A₂₁

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