Campo producido por una espira poligonal

De Laplace

Revisión a fecha de 14:47 20 abr 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Cuadrilátero
- 2.1 Campo en P
- 2.2 Momento magnético
3 Espira alabeada
- 3.1 Campo en P
- 3.2 Momento magnético

1 Enunciado

Por las espira de formas irregulares de las figuras circula una corriente $I$ . Halle el valor del campo en el punto $P$ en cada caso.

Para cada una de las espiras, hállese su momento magnético y la expresión del campo magnético y del potencial vector en puntos alejados de la espira.

2 Cuadrilátero

2.1 Campo en P

El campo es la suma de las contribuciones de cada uno de los lados del cuadrilátero. El campo de un segmento puede calcularse por integración directa, resultando la expresión

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}$

donde $α 1$ y $α 2$ son los ángulos con que se ven los extremos del segmento desde P, $ρ$ es la distancia de P a la recta soporte del segmento y $\mathbf{n}$ la normal al plano definido por el segmento y P, orientado según la regla de la mano derecha.

El punto P se encuentra en la intersección de la prolongación de dos de los lados. Por estar fuera de estos segmentos, la contribución de esos dos lados es nula.

Quedan las contribuciones de los otros dos lados.

Para el lado situado a una distancia $a$ tenemos que

$\rho=a\,$ $\alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}$ $\alpha_2=0\,$ $\mathbf{n}=-\mathbf{u}_z\,$

$\mathbf{n}$ es el vector perpendicular al plano de la espira, hacia adentro de la pantalla. La contribución de esta lado es

$\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\,\mathrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)-\,\mathrm{sen}\,\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)(-\mathbf{u}_z)=-\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi a}\mathbf{u}_z$

Para el lado situado a una distancia $b$ tenemos que

$\rho=b\,$ $\alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}$ $\alpha_2=0\,$ $\mathbf{n}=+\mathbf{u}_z\,$

La contribución de esta lado es

$\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi b}\left(\,\mathrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)-\,\mathrm{sen}\,\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi b}\mathbf{u}_z$

y el campo en P