Campo magnético de una esfera rotatoria

De Laplace

Revisión a fecha de 19:08 19 abr 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Densidad de corriente
3 Campo en el eje
4 Momento dipolar
5 Campo en todo el espacio

1 Enunciado

Una esfera de radio $a$ almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente en su superficie. La esfera gira con velocidad angular $ω$ alrededor de un eje.

Determine la densidad de corriente en la esfera
Calcule, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de rotación.
Calcule el momento dipolar magnético de la esfera. A partir de aquí, halle el campo en puntos alejados de la esfera, no necesariamente en el eje.
Halle, resolviendo las ecuaciones de la magnetostática, el campo en todos los puntos del espacio.

2 Densidad de corriente

Puesto que la densidad de carga se encuentra sobre la superficie de la esfera, la densidad de corriente resultante va a ser una superficial, $\mathbf{K}$ . Si tenemos una distribución de carga superficial fijada en un sólido, el cual se mueve con velocidad $\mathbf{v}$ , la densidad de corriente será

$\mathbf{K}=\sigma_s\mathbf{v}\,$

puesto que todos los portadores de carga de un elemento de superficie se mueven con la misma velocidad.

Para el caso de distribución uniforme

$\sigma_s=\frac{Q}{4\pi a^2}$

y un movimiento de rotación, empleando coordenadas esféricas

$\mathbf{v}=\mathbf{w}\times\mathbf{r}=(\omega \mathbf{u}_z)\times(a\mathbf{u}_{r'})=\omega a\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}$

y esto nos da la densidad de corriente

$\mathbf{K}=\frac{Q\omega}{4\pi a}\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}=K_0\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}$

3 Campo en el eje

Podemos calcular el campo integrando desde el principio, con ayuda de la ley de Biot y Savart

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{K}\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}S'$

No, obstante, para evitar cálculos repetitivos, podemos hacer uso de resultados conocidos. Si cortamos la esfera mediante planos perpendiculares al eje de giro, la reducimos a un conjunto de espiras circulares, cada una de las cuales produce un campo conocido. Superponiendo el campo de las espiras diferenciales obtendremos el campo de la esfera completa.

El campo de una espira circular situada en el plano $z' = 0$ es

$\mathbf{B}_\mathrm{esp}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z$

Si no se encuentra en el plano coordenado sino a una altura $z'$ se traslada esta coordenada

$\mathbf{B}_\mathrm{esp}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+(z-z')^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z$

En nuestro caso, el radio de la espira también depende de la altura a la que se encuentra. De acuerdo con el teorema de Pitágoras

$R(z')^2=a^2-z'^2\,$ $\Rightarrow$ $R^2+(z-z')^2 = a^2 + z^2 - 2zz'\,$

La intensidad de corriente para cada espira diferencial es la carga que pasa por un punto de ella en intervalo de tiempo dado

$I(z')=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$

En un intervalo igual al periodo de revolución

$\Delta t = T = \frac{2\pi}{\omega}$

la cantidad de carga que pasa es la contenida en un anillo de radio $R$ y espesor $a\,\mathrm{d}\theta$

$\Delta Q = \sigma_s\,\mathrm{d}S = \frac{Q}{4\pi a^2}(2\pi a\,\mathrm{sen}\,\theta)(a\,\mathrm{d}\theta) = \frac{Q}{2}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta$

Teniendo en cuenta que $z' = a cosθ$ esta carga equivale a

$\Delta Q = \frac{Q}{2a}\mathrm{d}z'$ $\Rightarrow$ $I=\frac{Q\omega}{4\pi a}\,\mathrm{d}z'=K_0\,\mathrm{d}z'$

El resultado es que por todas las espiras circula la misma corriente diferencial.

Sumando todas las contribuciones, el campo en los puntos del eje es

$\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0K_0}{2}\int_{-a}^a \frac{a^2-z'^2}{(a^2+z^2-2zz')^{3/2}}\mathrm{d}z'$

Esta integral se resuleve con el cambio de variable

$u^2 = a^2 + z^2 - 2zz'\,$

Esta cantidad u representa la distancia del punto de observación a una de las espiras. Sus valores extremos son (recordando que la raíz cuadrada es siempre positiva)

$u_1=u(-a) = |a+z|\,$ $u_2 = u(+a) = |a-z|\,$

Este cambio de variable convierte la integral en suma de tres integrales de potencias elementales. El resultado general se puede simplificar distinguiendo si el punto de observación se encuentra dentro de la esfera ( $- a < z < a$ ) o fuera de ella ( $| z | > a$ ). El resultado es

$\mathbf{B}(z) = \begin{cases}\displaystyle\frac{2\mu_0K_0}{3}\mathbf{u}_z & |z| < a \\ & \\ \displaystyle\frac{2\mu_0K_0a^3}{3|z|^3}\mathbf{u}_z & |z| > a \end{cases}$

Este campo es constante dentro de la esfera, y puramente dipolar (decae como $z 3$ ) fuera de ella.

4 Momento dipolar

4.1 A partir de la corriente

El momento dipolar magnético para una distribución de corriente superficial es

$\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'$

Empleando coordenadas esféricas, cada uno de los términos de esta integral valen

$\mathbf{r}'=a\mathbf{u}_{r'}$ $\mathbf{K}=K_0\,\mathrm{sen}\,\theta'\mathbf{u}_{\varphi'}$ $\mathbf{r}'\times\mathbf{K}'=-K_0a\,\mathrm{sen}\,\theta'\mathbf{u}_{\theta'}$ $\mathrm{d}S'=a^2\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$

Puesto que se trata de una integral vectorial, hay que pasar a la base cartesiana, ya que, en esféricas,

Los vectores de la base dependen de la posición

Aplicamos que

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$

y la integral se puede descomponer en esta base

$\mathbf{m}=m_x\mathbf{u}_x+m_y\mathbf{u}_y+m_z\mathbf{u}_z$

con

$m_x=-\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^2\theta'\cos\theta'\,\cos\varphi'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$ $m_y=-\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^2\theta'\cos\theta'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$ $m_z=\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^3\theta'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$

las dos primeras integrales se anulan ya que

$\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=\int_0^{2\pi}\!\!\!\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=0$

La tercera componente se convierte en un producto de dos integrales independientes

$m_z=\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{d}\varphi'\int_0^\pi\!\!\mathrm{sen}^3\theta'\,\,\mathrm{d}\theta'=\frac{K_0a^3}{2}(2\pi)\left(\frac{4}{3}\right)$

Simplificando nos queda el momento dipolar magnético

$\mathbf{m}=\frac{4\pi K_0a^3}{3}\mathbf{u}_z=\frac{Q\omega a^2}{3}\mathbf{u}_z$

4.2 A partir del campo magnético

El momento dipolar puede deducirse del campo magnético en los puntos del eje. La expresión general del campo magnético de un dipolo es

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

En los puntos del eje Z posiitivo, este campo se reduce a

$\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(m_zz)(z\mathbf{u}_z)-z^2(m_x\mathbf{u}_x+m_y\mathbf{u}_y+m_z\mathbf{u}_z)}{z^5}=\frac{\mu_0}{4\pi z^3}\left(-m_x\mathbf{u}_x-m_y\mathbf{u}_y+2m_z\mathbf{u}_z\right)$

Comparando este resultado con el de la sección anterior obtenemos, igualando componente a componente,

$m_x=0\,$ $m_y=0\,$ $m_z = \frac{4\pi K_0a^3}{3}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{m}=\frac{4\pi K_0a^3}{3}\mathbf{u}_z=\frac{Qa^2\omega\mathbf{u}_z}{3}$

4.3 Campo lejos de la esfera

Una vez que tenemos el momento dipolar, podemos hallar el campo aproximado en todos los puntos exteriores alejados de la esfera, no necesariamente sobre el eje:

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi r^5}\left(3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}\right)= \frac{\mu_0m}{4\pi {(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}}\left(3z(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)-(x^2+y^2+z^2)\mathbf{u}_z\right)=$ $=\frac{\mu_0m}{4\pi{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}}\left(3zx\mathbf{u}_x+3zy\mathbf{u}_y+(2z^2-x^2-y^2)\mathbf{u}_z\right)$

o, en coordenadas esféricas

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta)$

5 Campo en todo el espacio

Veamos cómo se determina el campo magnético de forma exacta en todos los puntos del espacio, resolviendo las ecuaciones de la magnetostática.

Este sistema posee simetría acimutal, por lo que ninguna de las componentes de los vectores depende de la coordenada $\varphi$ .

Además, las corrientes van únicamente en la dirección de $\mathbf{u}_\varphi$ . Esto nos permite suponer un potencial vector

$\mathbf{A}=A_i(r,\theta)\mathbf{u}_\varphi\qquad i = 1,2$

donde el subíndice $i$ indica si estamos dentro de la esfera o fuera de ella.

Esta suposición puede no resultar evidente, pero en última instancia estamos protegidos por el teorema de existencia y unicidad. Si la solución que encontramos cumple todas las ecuaciones y condiciones de contorno,será la solución del problema.

El campo magnético lo obtenemos hallando el rotacional del potencial vector. Resultan las componentes

$B_{ir} = \frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,A_i\right)$ $B_{i\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r\,\theta\,A_i\right)$ $B_{i\varphi}=0\,$

Sustituyendo ahora en las ecuaciones de la magnetostática, tenemos que $\mathbf{B}$ cumple automáticamente la ley de Gauss para el campo magnético por ser un rotacional. En cuanto a la ley de Ampère tenemos que, por ser nula la densidad de corriente de volumen

$\nabla\times\mathbf{B}_i=\mu_0\mathbf{J}=\mathbf{0}$

tanto dentro como fuera de la esfera. Hallando el rotacional del campo magnético y sustituyendo las expresiones anteriores nos queda la ecuación diferencial

$r\frac{\partial^2\ }{\partial r^2}\left(r A_i\right)+\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\frac{1}{\mathrm{sen}\,\theta} \frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,A_i\right)\right)=0$

Ésta no es la ecuación de Laplace, aunque se le parece.

En cuanto a las condiciones de contorno en la superficie de la esfera ( $r = a$ ) se cumple que la componente normal (en este caso, la radial) del campo magnético es continua

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}]=0$ $\Rightarrow$ $B_{1r}(a^-)=B_{2r}(a^+)\,$ $\Rightarrow$ $\left.\frac{1}{a\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,A_1\right)\right|_{a^-}=\left.\frac{1}{a\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,A_2\right)\right|_{a^+}$

De la ley de Ampère obtenemos que el salto en la componente tangencial es proporcional a la densidad de corriente superficial

$\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0\mathbf{K}\,$ $\Rightarrow$ $B_{2\theta}-B_{1\theta}=\mu_0K_0\,\mathrm{sen}\,\theta$ $\Rightarrow$ $\left.\frac{1}{a}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r\,\theta\,A_1\right)\right|_{a^-}-\left.\frac{1}{a}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r\,\theta\,A_2\right)\right|_{a^+} = \mu_0K_0\,\mathrm{sen}\,\theta$

Campo magnético de una esfera rotatoria

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Densidad de corriente

3 Campo en el eje

4 Momento dipolar

4.1 A partir de la corriente

4.2 A partir del campo magnético

4.3 Campo lejos de la esfera

5 Campo en todo el espacio

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