Campo magnético debido a una magnetización

De Laplace

Revisión a fecha de 07:35 2 abr 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Potencial vector
- 1.1 Demostración
2 Campo magnético
3 Ejemplo: imán esférico

1 Potencial vector

El potencial vector magnético debido a una magnetización es una extensión de la expresión correspondiente a un solo dipolo

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{M}(\mathbf{r}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'$

1.1 Demostración

La demostración es una consecuencia inmediata del principio de superposición. El potencial vector debido a un dipolo situado en el origen de coordenadas es

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}$

Si el dipolo no está en el origen, sino en el punto $\mathbf{r}_0$ , se efectúa una traslación

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}$

Si tenemos N dipolos, superponemos los potenciales respectivos

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\sum_i\frac{\mathbf{m}_i\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}$

Para pasar a una distribución continua, organizamos el sumatorio, de forma que primero sumamos todos los dipolos que están dentro de un elemento y luego sumamos para todos los elementos

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{\mathbf{m}_i\in\Delta\tau}\frac{\mathbf{m}_i\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)$

Hasta aquí no hay aproximación alguna. Dado que los elementos de volumen son microscópicos, podemos suponer que todos los dipolos de cada elemento se encuentran en la misma posición $\mathbf{r}'$

$\mathbf{A}\simeq\frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\Delta\tau}\left(\left(\sum_{\mathbf{m}_i\in\Delta\tau}\mathbf{m}_i\right)\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)$

y, por la definición de magnetización

$\mathbf{A}\simeq\frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\Delta\tau}\left(\Delta\tau'\mathbf{M}(\mathbf{}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)$

En el límite, este sumatorio se convierte en una integral

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_\tau\mathbf{M}(\mathbf{}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'$

2 Campo magnético

Una vez que se tiene el potencial vector, puede hallarse el campo magnético

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$

También puede calcularse a partir de la superposición del campo de dipolos magnéticos

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{3(\mathbf{M}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}'))(\mathbf{r}-\mathbf{r}')-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2\mathbf{M}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^5}\mathrm{d}\tau'$

No obstante, la complejidad de estas integrales aconseja el uso de métodos alternativos de cálculo.

3 Ejemplo: imán esférico

Artículo completo: Imán esférico

Campo magnético debido a una magnetización

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1 Potencial vector

1.1 Demostración

2 Campo magnético

3 Ejemplo: imán esférico

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