Campo magnético de una corriente rectilínea

De Laplace

Revisión a fecha de 13:24 22 mar 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Por integración directa
3 Mediante las ecuaciones de la magnetostática
- 3.1 Hilo infinito

1 Enunciado

Halle, por integración directa, el campo magnético producido en todo el espacio por un segmento rectilíneo de longitud $L$ por el cual circula una corriente continua $I$ .

A partir del resultado anterior, halle el campo producido en todos los puntos del espacio por un hilo de longitud infinita por el cual circula una corriente continua $I$ .

Para el caso de un hilo infinito, determine este mismo campo magnético partiendo de las ecuaciones de la magnetostática.

2 Por integración directa

2.1 Segmento finito

Una varilla aislada de longitud finita no puede encontrarse en un estado estacionario, ya que la carga que circulara por ella al llegar al extremo no podría desvanecerse, sino que produciría una acumulación progresiva de carga, que ya no sería estacionaria. Sin embargo, si el segmento forma parte de una curva cerrada, como un polígono, podemos aplicar el principio de superposición a cada uno de sus lados, calculados como si se trataran de segmentos aislados.

El campo debido a una sola varilla de corriente de longitud $L$ lo podemos calcular suponiendo el eje $Z$ sobre la varilla, y que ésta se extiende desde $- L / 2$ hasta $L / 2$ , fluyendo la corriente hacia valores de $z$ crecientes. Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético en un punto cualquiera del espacio es

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

En este caso

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}'=z'\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}-\mathbf{r}'=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+(z-z')\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'=\mathrm{d}z'\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=\mathrm{d}z'(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})$

y el cálculo del campo se reduce a la integral

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\!\!\!\!\mathrm{d}z' \frac{(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})}{(x^2+y^2+(z-z')^2)^{3/2}}$

Esta integral se resuelve con el cambio de variable

$z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{tg}\,\alpha$

donde $α$ es el ángulo que forma con la perpendicular al segmento el vector $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ . El resultado final es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}}{x^2+y^2}\right)(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)= \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{\varphi}$

Según esto, el campo debido a la varilla va en la dirección acimutal en torno a la varilla y su valor depende de la distancia $\rho$ al eje de la varilla, y de los ángulos con que se ven los extremos.

2.2 Violación de la ley de Ampére

Podemos comprobar que el campo debido a un único segmento no verifica la ley de Ampère, la cual solo es cierta para corrientes estacionarias, entre las cuales no se cuenta este sistema, según hemos dicho. Para ello calculamos la circulación a través de una curva cerrada alrededor del segmento

Tomando una curva circular, de radio $ρ$ , concéntrica con el eje Z, a una altura $z 0$ sobre el plano XY, resulta

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\!\!\!\! (B\mathbf{u}_{\varphi}){\cdot}(\rho\,\mathrm{d}\varphi\mathbf{u}_{\varphi}) = \frac{\mu_0I(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)}{2}$

De acuerdo con la ley de Ampère esta circulación debería ser igual o $μ 0 I$ o 0 si el disco apoyado en la circunferencia corta al segmento o no lo hace. El resultado real no es ninguno de estos dos.

2.3 Segemento en una posición arbitraria

A la hora de calcular el campo producido por ejemplo por una espira poligonal, no podemos fijar simultáneamente el eje Z sobre todos los lados a la vez, por lo que debemos reinterpretar la expresión para el campo de una forma más general.

Nuestro punto de partida es el campo magnético medido en un punto $P$ , debido a un segmento rectilíneo de extremos $M$ y $N$ , dado por

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}$

donde $ρ$ debe entenderse como la distancia desde el punto donde se quiere medir el campo a la recta soporte del segmento, esto es, la distancia PQ medida sobre la perpendicular, siendo Q el punto de la recta más cercano a P. Q no tiene por qué pertenecer al segmento. $α 1$ $ y $\alpha_2$ son los ángulos que esta perpendicular PQ forma con las líneas PM y PN. Estos ángulos tienen signo, positivo si PM queda por delante de PQ (según el sentido de la corriente) y negativo si queda por detrás. Lo mismo para el ángulo $α 1$ . Por último, $\mathbf{n}$ representa un vector normal al plano definido por P, M y N, con sentido el dado por la regla de la mano derecha respecto a la corriente que circula por el segmento (irá hacia afuera de la pantalla si P se encuentra a la izquierda del segmento y hacia adentro si está a la derecha).

Este tratamiento es análogo al que se establece al hallar el campo eléctrico para distribuciones de cargas de geometría similar. El cambio de variables que resuelve la integral es el mismo en ambos casos y también lo es la definición de los ángulos $α 1$ y $\alpha_2$. La principal diferencia entre el caso eléctrico y el magnético la da el que las fuentes de $\mathbf{B}$ sean vectoriales, mientras que las de $\mathbf{E}$ son escalares. Ello establece un sentido de recorrido del segmento, el dado por la corriente, y define de forma unívoca los extremos delantero y trasero del segmento (lo que no ocurre en el caso eléctrico). Igualmente, el carácter transversal del campo magnético, frente al radial del campo eléctrico, obliga a establecer un criterio de giro, según la regla de la mano derecha, que no es preciso en el caso eléctrico.