Campo magnético de una corriente rectilínea

De Laplace

Revisión a fecha de 13:16 22 mar 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Por integración directa
3 Mediante las ecuaciones de la magnetostática
- 3.1 Hilo infinito

1 Enunciado

Halle, por integración directa, el campo magnético producido en todo el espacio por un segmento rectilíneo de longitud $L$ por el cual circula una corriente continua $I$ .

A partir del resultado anterior, halle el campo producido en todos los puntos del espacio por un hilo de longitud infinita por el cual circula una corriente continua $I$ .

Para el caso de un hilo infinito, determine este mismo campo magnético partiendo de las ecuaciones de la magnetostática.

2 Por integración directa

2.1 Segmento finito

Una varilla aislada de longitud finita no puede encontrarse en un estado estacionario, ya que la carga que circulara por ella al llegar al extremo no podría desvanecerse, sino que produciría una acumulación progresiva de carga, que ya no sería estacionaria. Sin embargo, si el segmento forma parte de una curva cerrada, como un polígono, podemos aplicar el principio de superposición a cada uno de sus lados, calculados como si se trataran de segmentos aislados.

El campo debido a una sola varilla de corriente de longitud $L$ lo podemos calcular suponiendo el eje $Z$ sobre la varilla, y que ésta se extiende desde $- L / 2$ hasta $L / 2$ , fluyendo la corriente hacia valores de $z$ crecientes. Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético en un punto cualquiera del espacio es

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

En este caso

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}'=z'\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}-\mathbf{r}'=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+(z-z')\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'=\mathrm{d}z'\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=\mathrm{d}z'(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})$

y el cálculo del campo se reduce a la integral

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\!\!\!\!\mathrm{d}z' \frac{(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})}{(x^2+y^2+(z-z')^2)^{3/2}}$

Esta integral se resuelve con el cambio de variable

$z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{tg}\,\alpha$

donde $α$ es el ángulo que forma con la perpendicular al segmento el vector $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ . El resultado final es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}}{x^2+y^2}\right)(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)= \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{\varphi}$

Según esto, el campo debido a la varilla va en la dirección acimutal en torno a la varilla y su valor depende de la distancia $\rho$ al eje de la varilla, y de los ángulos con que se ven los extremos.

2.2 Violación de la ley de Ampére

Podemos comprobar que el campo debido a un único segmento no verifica la ley de Ampère, la cual solo es cierta para corrientes estacionarias, entre las cuales no se cuenta este sistema, según hemos dicho. Para ello calculamos la circulación a través de una curva cerrada alrededor del segmento

Tomando una curva circular, de radio $ρ$ , concéntrica con el eje Z, a una altura $z 0$ sobre el plano XY, resulta

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\!\!\!\! (B\mathbf{u}_{\varphi}){\cdot}(\rho\,\mathrm{d}\varphi\mathbf{u}_{\varphi}) = \frac{\mu_0I(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)}{2}$

De acuerdo con la ley de Ampère esta circulación debería ser igual o $μ 0 I$ o 0 si el disco apoyado en la circunferencia corta al segmento o no lo hace. El resultado real no es ninguno de estos dos.