Tres masas unidas por resortes (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:49 31 dic 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones de movimiento
3 Modos normales
4 Solución particular

1 Enunciado

Se tienen tres masas, de valores $m_A=5\,\mathrm{kg}$ , $m_B=5\,\mathrm{kg}$ y $m_C=6\,\mathrm{kg}$ se hallan unidas por resortes. Entre la A y la B se encuentra uno de constante $k_1=15\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural 10cm, y entre la B y la C uno de constante $k_2=60\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural 10cm. Inicialmente se encuentran las tres masas en reposo y los muelles en su longitud natural. Entonces se le comunica a la masa A una velocidad inicial $v_{A0}=+16\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

Determine la posición de cada masa como función del tiempo.

2 Ecuaciones de movimiento

En lo que sigue se usarán todas las magnitudes en las unidades fundamentales del SI.

Dado un sistema de referencia fijo, las posiciones de las tres partículas serán, respectivamente $X A (t)$ , $X B (t)$ y $X C (t)$ . Por comodidad, definimos las variables

$x_A=X_A\qquad\qquad x_B = X_B-\ell_0\qquad\qquad x_C=X_C-2\ell_0$

siendo $\ell_0$ la longitud natural de ambos resortes. De esta manera podemos describir el movimiento como las desviaciones respecto a posiciones de equlibrio y podemos tratar los resortes como si tuvieran longitud natural nula.

Las ecuaciones de movimiento las da la segunda ley de Newton. Para la primera masa

$m_A\ddot{x}_A=-k_1(x_A-x_B)\qquad\Rightarrow\qquad 5\ddot{x}_A=-15(x_A-x_B)\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{x}_A=-3x_A+3x_B$

Para la segunda

$m_B\ddot{x}_B=-k_1(x_B-x_A)-k_2(x_B-x_C)\qquad\Rightarrow\qquad 5\ddot{x}_B=-15(x_B-x_A)-60(x_B-x_C)\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{x}_B=3x_A-15x_B+12x_C$

y para la tercera

$m_C\ddot{x}_C=-k_2(x_C-x_B)\qquad\Rightarrow\qquad 6\ddot{x}_C=-60(x_C-x_B)\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{x}_C=10x_B-10x_C$

Por tanto, el sistema de ecuaciones de movimiento es

$\begin{array}{rcl} \ddot{x}_A&=&-3x_A+3x_B\\ \ddot{x}_B&=&3x_A-15x_B+12x_C\\ \ddot{x}_C&=&10x_B-10x_C \end{array}$

con las condiciones iniciales

$\begin{array}{rcl} x_{A0}&=&0\\ x_{B0}&=&0\\ x_{C0}&=&0 \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{rcl} \dot{x}_{A0}&=&+0.16\\ \dot{x}_{B0}&=&0\\ \dot{x}_{C0}&=&0 \end{array}$

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