Rotaciones finitas sucesivas de 90° (CMR)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación +90° en torno a OX₁. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
2. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OX₁ y a continuación +90° en torno a OY₁?
3. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación +90° en torno a OX₂?
4. Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a OY₁; 2º +90° en torno a OX₁) y a continuación se gira −90° en torno a OY₁ seguido de −90° en torno a OX₁, ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

2 Introducción

En este problema tenemos una sucesión de rotaciones de 90°. En general, para una rotación alrededor del eje OX tenemos la siguiente matriz de rotación que nos da las coordenadas en el sistema dijo partiendo de las que tiene en el sistema ligado

3 Primer caso

4 Segundo caso

5 Tercer caso

6 Cuarto caso