Anilla ensartada en un aro rodante

De Laplace

Revisión a fecha de 13:00 18 dic 2019; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones de movimiento
- 2.1 Para el aro
  - 2.1.1 Teorema de la cantidad de movimiento

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por un aro “2” de masa $m 2$ que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Ensartado en este aro se encuentra una pequeña anilla “3” de masa $m 3$ que puede deslizarse sin fricción a lo largo del aro “2”.

Empleando como coordenadas la posición x del centro C del aro “2” a lo largo del eje horizontal y el ángulo θ que la posición de la anilla “3” forma con la vertical, determine:

Las ecuaciones de movimiento para estas dos coordenadas.
Dos constantes de movimiento no triviales.
Suponiendo que el aro y la anilla están en reposo, se sitúa la anilla formando un pequeño ángulo $θ 0$ con la vertical. Determine la frecuencia de las oscilaciones que realiza el sistema.

2 Ecuaciones de movimiento

Cada uno de los dos cuerpos “2” y “3” obedece las ecuaciones dadas por el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. En cada caso debemos incluir las posibles fuerzas de reacción sobre cada uno de los cuerpos.

2.1 Para el aro

2.1.1 Teorema de la cantidad de movimiento

El aro experimenta las siguientes fuerzas externas:

Su peso $-m_2g\vec{\jmath}_1$
La reacción del suelo en el punto de contacto A, la cual tiene dos componentes
- Una vertical $\vec{F}_{Ay}=F_{Ay}\vec{\jmath}_1$ que impide que el aro atraviese el suelo, y mantiene el centro a una altura constante R.
- Una horizontal, $\vec{F}_{Ax}=F_{Ax}\vec{\imath}_1$ que impide que el aro deslice, de manera que solo ruede.
Una fuerza de reacción debida a la anilla. El vínculo de que la anilla permanezca en el aro se consigue realizando una fuerza normal sobre ésta $\vec{F}_P$ y, por la tercera ley de Newton, una fuerza igual y de sentido contrario $-\vec{F}_P$ se aplica en el aro.

Esto nos da la sigueinte relación

$m_2\vec{a}^C_{21}=m_2\vec{g}+\vec{F}_{Ax}+\vec{F}_{Ay}-\vec{F}_P$

La aceleración del centro del aro es puramente horizontal

$\vec{a}^C_{21}=\ddot{x}\vec{\imath}_1$

Para expresar la fuerza $\vec{F}_P$ usamos un sistema “3” de ejes que está girado un ángulo θ respecto al sistema “1”, de manera que $\vec{\imath}_3$ es tangente al aro y $\vec{\jmath}_3$ es radial y hacia adentro.