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No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje OX\,, tiene en el instante inicial (t=0)\, una velocidad \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}\, (donde v_0>0\,) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función \vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\, (donde C=\mbox{cte}>0\,), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

2 Posición y velocidad en función del tiempo

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\,\mathrm{d}t \,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-C\, t\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{v}=-C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath}

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:

\vec{r}(0)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico t\,:

\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=-C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath}=\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\vec{\imath} \\ \\ \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\left[v_0\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\,\mathrm{d}t\right)-\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\right]\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\left[\,v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\right]\,\vec{\imath}=\left[\,v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\right]\,\vec{\imath}\end{array}

3 Instante en el que la partícula se detiene

Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos en qué instante (t=t^{*}\,) se detiene:

\vec{v}(t^{*})=\vec{0} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \left(v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}\right)\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}

4 Celeridad media en el intervalo de tiempo solicitado

Nótese que No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): v_x(t)=v_0-\displaystyle\frac{C(t^)^2}{2}\, 

es positiva en el intervalo de tiempo 0\leq t<t^{*}\,, lo cual implica que la partícula se mueve en el sentido positivo del eje \,OX\, durante todo el intervalo de interés, y esto nos permite identificar la distancia L\, recorrida por la partícula durante dicho intervalo como el incremento de su coordenada \Delta\, x\,:
L=\Delta\, x=x(t^{*})-x(0)=v_0\,t^{*}-\displaystyle\frac{C(t^{*})^3}{6}=v_0\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}-\displaystyle\frac{C}{6}\displaystyle\frac{2v_0}{C}\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}=\frac{2v_0}{3}\sqrt{\frac{2v_0}{C}}

Finalmente, la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo de interés viene dada por el siguiente cociente:

\left\langle v\right\rangle = \frac{L}{\Delta\, t}=\frac{L}{t^{*}}=\displaystyle\frac{2v_0}{3}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Celeridad_media_(Ex.Oct/18)"

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