No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Posición y velocidad en función del tiempo
3 Instante en el que la partícula se detiene
4 Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto

1 Enunciado

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje $OX\,$ , tiene en el instante inicial $(t=0)\,$ una velocidad $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}\,$ (donde $v_0>0\,$ ) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función $\vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\,$ (donde $C=\mbox{cte}>0\,$ ), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

2 Posición y velocidad en función del tiempo

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\,\mathrm{d}t \,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-C t\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{v}=-C t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath}$

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:

$\vec{r}(0)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$ :

$\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=-C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath}=\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\vec{\imath} \\ \\ \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\left[\displaystyle\int_{0}^{t}\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\mathrm{d}t\right]\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\left[\,v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\right]\,\vec{\imath}\end{array}$

3 Instante en el que la partícula se detiene

Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos el instante ( $\,\,t=t^{*}\,$ ) en el que se detiene:

$\vec{v}(t^{*})=\vec{0} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \left(v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}\right)\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}$

4 Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto

Nótese que $v_x(t)=v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,$ es positiva en el intervalo de tiempo $0< t<t^{*}\,$ , lo cual implica que la partícula se mueve siempre en el sentido positivo del eje $\,OX\,$ durante dicho intervalo. Por tanto, la distancia $L\,$ recorrida por la partícula durante el intervalo propuesto coincide con el incremento de su coordenada $\Delta\, x\,$ . Teniendo en cuenta que $x(t)=v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,$ , se obtiene:

$L=\Delta\, x=x(t^{*})-x(0)=v_0\,t^{*}-\displaystyle\frac{C(t^{*})^3}{6}=v_0\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}-\displaystyle\frac{C}{6}\displaystyle\frac{2v_0}{C}\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}=\frac{2v_0}{3}\sqrt{\frac{2v_0}{C}}$

Finalmente, la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo propuesto viene dada por el siguiente cociente:

$\left\langle v\right\rangle = \frac{L}{\Delta\, t}=\frac{L}{t^{*}}=\displaystyle\frac{2v_0}{3}$

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