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Sistema de dos masas unidas por una varilla (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sólido está formado por dos masas iguales,m1 = m2 = m, unidas por una varilla sin masa. En un instante dado, las dos partículas se hallan en \vec{r}_1=2b\vec{\imath}_1 y \vec{r}_2=b(3\vec{\imath}_1+2\vec{\jmath}_1 ), respectivamente.

  1. ¿Cuál es la posición del CM del sistema?
  2. ¿Cuánto vale su tensor de inercia respecto al triedro OX1Y1Z1?
  3. Determine los ejes principales de inercia y los momentos principales de inercia de este sólido.
  4. Si la varilla gira con velocidad angular constante \Omega\vec{\imath}_1 alrededor del eje OX1, ¿cuánto vale su momento cinético respecto a O? ¿Y su energía cinética?
  5. Para el movimiento anterior, ¿qué fuerza y que momento hay que aplicar en O para mantener el sistema en movimiento?

2 Centro de masas

Al ser las dos masas iguales, el centro de masas se halla en el punto medio

\overrightarrow{OG}=\frac{\vec{r}_1+\vec{r}_2}{2}=\frac{3b}{2}\vec{\imath}+b\vec{\jmath}

3 Tensor de inercia

Para un sistema de masas puntuales, basta con sumar las contribuciones de cada una a los diferentes momentos y productos de inercia.

3.1 Respecto al eje OX

La masa 1 se halla sobre el propio eje y la 2 a una distancia 2b, por tanto

I_{xx}=0+m(2b)^2=4mb^2\,

3.2 Respecto al eje OY

La masa 1 está a 2b y la 2 a 3b

I_{yy}=m(4b^2+9b^2)=13mb^2\,

4 =Respecto al eje OZ

Se trata de una figura plana en el plano OX1Y1 por lo que

I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}=17mb^2\,

4.1 Productos de inercia

Por ser una figura plana en OX1Y1

I_{xz}=I_{yz}=0\,

El único elemento no diagonal no nulo es el xy

I_{xy}=-\sum_i m_i x_iy_i=-m(2b\cdot 0)-m(3b)(2b)=-6mb^2\,

4.2 Forma matricial

Reuniendo los resultados anteriores queda la matriz

\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}

También se puede calcular esta matriz directamente en lugar de elemento a elemento, partiendo de la expresión

\bar{\bar{I}}=\sum_i m_i\begin{pmatrix} y_i^2+z_1^2 & -x_iy_i & -x_iz_i \\ -x_iy_i & x_i^2+z_i^2 & -y_iz_i \\ -x_iz_i & -y_iz_i & x_i^2+y_i^2 \end{pmatrix}

que en este caso nos da

\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}+mb^2\begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \\ -6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}

5 Ejes y momentos principales

6 Momento y energía cinética

7 Fuerza y par

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Sistema_de_dos_masas_unidas_por_una_varilla_(CMR)"

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