Condensador plano paralelo (GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 01:57 15 jul 2018; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Se tienen dos discos conductores idénticos, de radio $a=6\,\mathrm{cm}$ , con los que se quiere construir un condensador plano-paralelo de capacidad eléctrica $C_0\approx100\,\mathrm{pF}$

Si los conductores están separados por aire, cuyo campo de ruptura es $E_\mathrm{air}=3\,\mathrm{kV/mm}$ , ¿qué distancia debe existir entre los discos conductores? ¿Cuál es el máximo valor de diferencia de potencial que puede aplicarse entre los discos?
Si se separan por una lámina de papel de espesor $d=0,1\,\mathrm{mm}$ , cuya constante de dieléctrica es $\kappa\approx 4$ , y cuyo campo de ruptura es $E_\mathrm{pap}=12\,\mathrm{kV/mm}$ , ¿cuál será la capacidad eléctrica y la diferencia de potencial que puede aplicarse?

2 Solución

Introdución

Un condensador plano paralelo es un sistema formado por dos superficies conductoras planas iguales, enfrentadas y dispuestas en sendos planos paralelos, separadas por un medio dieléctrico. Además, ambas superficies conductoras se están en influencia total: soportan cantidades opuestas de carga eléctrica y, por tanto, todas las líneas del campo eléctrico que “salen” del plano con carga positiva $+ Q$ , “terminan” en el plano con la carga negativa $- Q$ .

Adoptaremos un sistema de referencia tal que los planos conductores enfrentados y cargados, coindicen con los planos geométricos $\displaystyle\Pi_1: x=0\;$ y $\;\displaystyle\Pi_2: x=a$ , ambos perpendiculares al eje

O X

. Además, consideraremos que el dieléctrio que separa ambos planos es el vacío, cuya permitividad dieléctica en el Sistema Internacional de unidades es $\,\varepsilon_0=(1/36\pi)\,\mathrm{nF/m}$ .

En un condensador real con conductores de tamaño finito y planos en influencia total de área $S$ , las cargas eléctricas se ditribuyen más o menos uniformemente en puntos alejados de los bordes de los planos condutores; los valores absolutos de las densidades de carga eléctrica crecen conforme nos aproximamos a dichos bordes. Sin embargo, si la distancia $\displaystyle a$ que separa los planos conductores es significativamente menor que las dimensiones de dichos plano, es posible despreciar estos efectos de borde y considerar, en primera aproximación, que las cargas eléctricas se distribuyen prácticamente uniformemente en los planos conductores, estando descritas por sendas densidades superficiales de carga constantes y opuestas:

$a\ll\!\!\ll S^{1/2}\;\,\Longrightarrow\;\,\left\{\begin{array}{l}\sigma_e\big\rfloor_{\Pi_1}=\sigma_e(x=0,y,z)\cong\sigma_0\\ \\ \sigma_e\big\rfloor_{\Pi_2}=-\sigma_e(x=a,y,z)\cong-\sigma_0\end{array}\right.$

Como puede comprobarse en

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