Ecuación para las ondas en una cuerda tensa
De Laplace
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1 Objetivo
Al principio de este tema se estudia la ecuación de onda en su forma matemática, pero para que esa ecuación sea útil, hay que demostrar que aparece realmente en situaciones físicas.
En esta sección vamos a probar que las ondas que se transmiten por una cuerda tensa verifican, en condiciones adecuadas, la ecuación de onda unidimensional.
Suponemos que tenemos una cuerda de gran longitud L, de sección uniforme S y con una densidad de masa por unidad de longitud μ (que será igual a su densidad de masa por unidad de volumen, ρ, multiplicada por la sección de la cuerda μ = ρS).
Esta cuerda está sometida a tensión, por ejemplo, atando uno de sus extremos a una pared y colgando un peso del otro extremo.
Por efecto de las perturbaciones esta cuerda vibra transversalmente, de forma que un punto de ella, de coordenada x se desplaza una cantidad y en la dirección perpendicular a la cuerda.
Supondremos que las deformaciones son de pequeña amplitud, de forma que puede suponerse que la longitud de la cuerda no se ve afectada por la curvatura, y que cada punto de la cuerda se mueve solo transversalmente y no hacia adelante o hacia atrás.
2 Dinámica de un elemento de cuerda
Consideremos un trozo de cuerda de longitud infinitesimal, comprendido entre las posiciones x y No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): x + Δx . Este trozo tendrá una masa muy pequeña
Esta masa puede tratarse como una partícula que se mueve exclusivamente en la dirección vertical, según hemos supuesto, de forma que la velocidad y aceleración de esta masa es
El uso de la derivada parcial, en vez de la total, indicada normalmente con uno (
) o dos puntos (
sobre la variable, se debe a que y depende realmente de dos variables, x y t. La velocidad y la aceleración correspondientes a un movimiento vertical (variación en t) sin que se modifique la posición horizontal (x constante). Esta es justamente la definición de derivada parcial.
Este trozo infinitesimal de cuerda se mueve sometida a la acción de las fuerzas ejercidas por los trozos de cuerda adyacentes, a través de la tensión con que tiran de ella. De esta forma, la segunda ley de Newton para esta masa puntual se escribirá
